Арифметический ряд

порядка т- последовательность значений многочлена степени т: [img: http://localhost:8080/file/010132-29.jpg] принимаемых им при последовательных целых, неотрицательных значениях переменной [img: http://localhost:8080/file/010132-30.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010132-31.jpg] получается арифметич. прогрессия с начальным членом [img: http://localhost:8080/file/010132-33.jpg] и разностью [img: http://localhost:8080/file/010132-34.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010132-35.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010132-36.jpg] получаются последовательности квадратов или кубов целых чисел - частные случаи А. р. 2-го и 3-го порядков. Если составить ряд из разностей соседних членов А. р., затем для полученной последовательности разностей также образовать их разности (вторые разности), для вторых разностей образовать разности (третьи разности) и т. д., то на m-м этапе окажется, что все (m-ые) разности равны между собой. Обратно, если для нек-рой последовательности чисел ее m-ые разности равны между собой, то эта последовательность есть А. р. порядка т. [img: http://localhost:8080/file/010132-32.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010132-43.jpg] Пользуясь этим свойством, можно строить А. р. различных порядков, отправляясь от их разностей. Напр., последовательность единиц: [img: http://localhost:8080/file/010132-37.jpg] можно рассматривать как первые разности последовательности натуральных чисел: [img: http://localhost:8080/file/010132-38.jpg] - как вторые разности последовательности треугольных чисел: [img: http://localhost:8080/file/010132-39.jpg] - как третьи разности последовательности тетраэдр и ческих чисел: [img: http://localhost:8080/file/010132-40.jpg] и т. д. Названия этих чисел объясняются тем, что треугольные числа выражают числа шаров, уложенных в виде треугольника (рис. 1), а тетра-эдрические - в виде тетраэдра (пирамиды) (рис. 2). Треугольные числа выражаются формулой [img: http://localhost:8080/file/010132-41.jpg] а тетраэдрические - формулой [img: http://localhost:8080/file/010132-42.jpg] Обобщением треугольных чисел являются k-yгольные, или фигурные числа, игравшие важную роль на разных этапах развития арифметики, k-угольные числа имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/010132-44.jpg] Они образуют А. р. 2-го порядка, с первым членом 1, вторым членом [img: http://localhost:8080/file/010132-45.jpg] и вторыми разностями [img: http://localhost:8080/file/010132-46.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010132-47.jpg] получаются треугольные числа, при [img: http://localhost:8080/file/010132-48.jpg] - квадратные [img: http://localhost:8080/file/010132-49.jpg], при [img: http://localhost:8080/file/010132-50.jpg] - пентагональные (пятиугольные) [img: http://localhost:8080/file/010132-51.jpg] и т. п. Названия эти поясняются на рис. 3 и 4, где числа шаров, расположенных в виде квадрата или пятиугольника, выражаются соответствующими квадратными или пеитагональными числами. Относительно фигурных чисел справедлива следующая теорема, высказанная П. Ферма (P. Fermat) и доказанная впервые О. Коши (A. Cauchy): любое натуральное число можно представить в виде суммы не более, чем kfc-угольных чисел.