Артиново кольцо

артипово справа кольцо, - кольцо, удовлетворяющее условию минимальности для правых идеалов, т. е. кольцо, в к-ром любое непустое частично упорядоченное по включению множество Мправых идеалов имеет минимальный элемент (см. [1]) - такой правый идеал из М, к-рый не содержит строго никакого правого идеала пз М. Другими словами, А. к.- это кольцо, являющееся правым арти-новшм модулем над самим собой. Кольцо Аесть А. к. тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей правых идеалов, т. е. для любой убывающей последовательности правых идеалов [img: http://localhost:8080/file/010132-116.jpg] кольца Асуществует такое натуральное число т, что [img: http://localhost:8080/file/010132-117.jpg] Аналогично определяется артиново слева кольцо. Всякое ассоциативное А. к. с единицей нётерово справа (см. Нётерово кольцо). Всякая конечномерная алгебра над полем является А. к. Наиболее полно изучены свойства А. к. в классе альтернативных колец и особенно в классе ассоциативных колец (см. Альтернативные кольца и алгебры, Ассоциативные кольца и алгебры). Джекобсона радикал ассоциативного А. к. ннльпотен-тен п содержит всякий односторонний нильидеал. Кольцо Атогда и только тогда является простым ассоциативным А. к., когда оно изоморфно кольцу всех матриц нек-рого конечного порядка над нек-рым ассоциативным телом. В классе альтернативных колец каждое простое А. к. либо ассоциативно, либо есть Кэли - Диксона алгебра над своим центром, являющимся в этом случае полем. Строение ассоциативных А. к. с нулевым радикалом Джекобсона описано (см. Полупростое кольцо). Имеется вариант этой теоремы в случае альтернативных колец. Для ассоциативных колец с ненулевым радикалом Джекобсона развита достаточно далеко идущая структурная теория (см. [1], [2]). Весьма интенсивно изучается ряд классов А. к.- квазифробениусовы кольца, однородные кольца, сбалансированные кольца.