Арцела вариация

- одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть действительнозначная функция [img: http://localhost:8080/file/010132-154.jpg] задана на n-мерном параллелепипеде [img: http://localhost:8080/file/010132-155.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010132-156.jpg] - класс всех таких непрерывных вектор-функций [img: http://localhost:8080/file/010132-157.jpg] что каждая функция [img: http://localhost:8080/file/010132-158.jpg] не убывает на [img: http://localhost:8080/file/010132-159.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010132-160.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010132-161.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/010132-162.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010132-163.jpg] - произвольная система точек из [img: http://localhost:8080/file/010132-164.jpg]. Это определение в случае п = 2 предложено Ч. Арцела [1] (см. также [2], с. 543). Если А([img: http://localhost:8080/file/010132-165.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010132-166.jpg]) < [img: http://localhost:8080/file/010132-167.jpg], то говорят, что функция [img: http://localhost:8080/file/010132-168.jpg] имеет ограниченную (конечную) А. в. на Dn, а класс всех таких функций обозначается [img: http://localhost:8080/file/010132-169.jpg]. Для того чтобы функция [img: http://localhost:8080/file/010132-170.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010132-171.jpg] принадлежала классу [img: http://localhost:8080/file/010132-172.jpg], необходимо и достаточно, чтобы имело место разложение [img: http://localhost:8080/file/010132-173.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010132-174.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010132-175.jpg] - конечные неубывающие на [img: http://localhost:8080/file/010132-176.jpg] функции. При этом функция [img: http://localhost:8080/file/010132-177.jpg] наз. неубывающей [img: http://localhost:8080/file/010132-178.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010132-179.jpg], при [img: http://localhost:8080/file/010132-180.jpg] Класс [img: http://localhost:8080/file/010132-181.jpg] содержит в себе класс функций, имеющих ограниченную Харди вариацию на [img: http://localhost:8080/file/010132-182.jpg].