Аффинная дифференциальная геометрия

- раздел геометрии, изучающий дифференциально-геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства. В эквиаффинной плоскости каждые два вектора [img: http://localhost:8080/file/010134-55.jpg] имеют инвариант [img: http://localhost:8080/file/010134-56.jpg] - площадь параллелограмма, построенного на векторах [img: http://localhost:8080/file/010134-57.jpg] С помощью этого понятия для кривой [img: http://localhost:8080/file/010134-58.jpg], отличной от прямой, строится инвариантный параметр [img: http://localhost:8080/file/010134-59.jpg] наз. экв и аффинной дугой. Дифференциальный инвариант [img: http://localhost:8080/file/010135-1.jpg] наз. экв и аффинной кривизной плоской кривой. Постоянство эквпаффинной кривизны характеризует кривые 2-го порядка. Натуральное уравнение [img: http://localhost:8080/file/010135-2.jpg] определяет кривую с точностью до эквиаффинного преобразования. Вектор [img: http://localhost:8080/file/010135-3.jpg] направлен по аффинной нормали к плоской кривой; аффинная нормаль в точке [img: http://localhost:8080/file/010135-4.jpg] касается геометрич. места середин хорд кривой, параллельных касательной в точке Ми совпадает с диаметром параболы, имеющей в точке Мсоприкосновение 3-го порядка с кривой. При переходе к общей аффинной группе у кривой рассматривают два более сложных инварианта: аффинную дугу а и аффинную кривизну [img: http://localhost:8080/file/010135-5.jpg]. Они могут быть выражены через введенные выше инварианты [img: http://localhost:8080/file/010135-6.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010135-7.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010135-8.jpg] (в эквиаффинной геометрии сами величины [img: http://localhost:8080/file/010135-9.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010135-10.jpg] для краткости наз. аффинной дугой и аффинной кривизной). Подобным же образом строятся центроаффинная дуга, пентроаффинная кривизна, эквицентроаффинная дуга и эквицентроаффинная кривизна плоской кривой. В эквиаффинном пространстве каждым трем векторам [img: http://localhost:8080/file/010135-11.jpg] может быть отнесен инвариант [img: http://localhost:8080/file/010135-12.jpg] - объем ориентированного параллелепипеда, определяемого этими векторами. Натуральный параметр (эквиаффинная дуга) кривой определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/010135-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-14.jpg] Дифференциальные инварианты [img: http://localhost:8080/file/010135-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-16.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-17.jpg] где штрихи означают дифференцирование по натуральному параметру, наз. соответственно эквиаффинной кривизной и э к в и-аффинным кручением пространственной кривой. Изучение кривой сводится к выбору того или иного сожровождающего репера; особую роль играет репер, образвванный векторами [img: http://localhost:8080/file/010135-18.jpg] и определяемый дифференциальной окрестностью 4-го порядка рассматриваемой кривой. Разработана также центроаффинная теория пространственных кривых (см. [5]). Для пвверхности [img: http://localhost:8080/file/010135-19.jpg] в эквиаффинном пространстве, отличной от развертывающейся поверхности, строится тензор [img: http://localhost:8080/file/010135-20.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010135-21.jpg] - символ ковариантной производной в связности с метрич. тензором [img: http://localhost:8080/file/010135-22.jpg], задает направление аффинной нормали к поверхности. Аффинная нормаль проходит через центр соприкасающейся квадрики Ли. Деривационные уравнения [img: http://localhost:8080/file/010135-23.jpg] определяют внутреннюю связность 1-го рода [img: http://localhost:8080/file/010135-24.jpg] поверхности. Наряду с ней возникает внутренняя связность 2-го рода [img: http://localhost:8080/file/010135-25.jpg], определяемая деривационными уравнениями [img: http://localhost:8080/file/010135-26.jpg] где v - ковариантный вектор, определяющий касательную плоскость к поверхности и подчиненный условию нормировки [img: http://localhost:8080/file/010135-27.jpg]. Связности [img: http://localhost:8080/file/010135-28.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010135-29.jpg] являются сопряженными относительно тензора в смысле А. П. Нордена (см. [3]). Тензор [img: http://localhost:8080/file/010135-30.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-31.jpg] играющий также основную роль в проективной дифференциальной геометрии, позволяет построить симметрич. ковариантный тензор [img: http://localhost:8080/file/010135-32.jpg] Строятся также две основные формы поверхности: квадратичная форма [img: http://localhost:8080/file/010135-33.jpg] и кубическая форма Фубини- Пика [img: http://localhost:8080/file/010135-34.jpg] Эти формы связаны условием аполярности [img: http://localhost:8080/file/010135-35.jpg] Две такие формы, удовлетворяющие дополнительным дифференциальным условиям, определяют поверхность с точностью до эквиаффинных преобразований. Все эти положения обобщаются на многомерный случай. В аффинном и эквиаффинном пространствах выделяется много специфич. классов поверхностей: аффинные сферы (у к-рых аффинные нормали образуют связку), аффинные поверхности вращения (аффинные нормали пересекают одну собственную или несобственную прямую), аффинные минимальные поверхности и др. Помимо кривых и поверхностей, изучаются также иные геометрич. образы эквиаффинного пространства, напр, конгруэнции и комплексы прямых, векторные поля и др. Наряду с эквиаффинной дифференциальной геометрией разрабатывается дифференциальная геометрия общей аффинной группы и других ее подгрупп как в трехмерном, так и в многомерном пространствах (центроаффин-ном, эквицентроаффинном, аффинно-симплектическом, биаффинном и т. д.).