Аффинное алгебраическое множество

, аффинное алгебраическое [img: http://localhost:8080/file/010135-209.jpg] -множество,- множество решений нек-рой системы алгеб-раич. уравнений. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010135-210.jpg] поле и [img: http://localhost:8080/file/010135-211.jpg] - его алгебраич. замыкание. Подмножество Xдекартова произведения [img: http://localhost:8080/file/010135-212.jpg] наз. аффинным алгебраическим [img: http://localhost:8080/file/010135-213.jpg] множеством, если его точки являются общими нулями нек-рого семейства S многочленов кольца [img: http://localhost:8080/file/010135-214.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-215.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/010135-216.jpg] всех многочленов из [img: http://localhost:8080/file/010135-217.jpg] обращающихся в нуль на [img: http://localhost:8080/file/010135-218.jpg], образует идеал, к-рый наз. идеалом аффинного алгебраического [img: http://localhost:8080/file/010135-219.jpg] -множества. Идеал [img: http://localhost:8080/file/010135-220.jpg] совпадает с радикалом идеала [img: http://localhost:8080/file/010135-221.jpg], порожденного семейством S, т. е. с множеством таких многочленов [img: http://localhost:8080/file/010135-222.jpg] для иек-рого натурального т. А. а. м. Xи Yсовпадают тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010135-223.jpg] А. а. м. Xможет быть задано системой образующих идеала [img: http://localhost:8080/file/010135-224.jpg] В частности, всякое А. а. м. может быть задано конечным числом многочленов [img: http://localhost:8080/file/010135-225.jpg] Равенства [img: http://localhost:8080/file/010135-226.jpg] наз. уравнениями А. а. м. X. А. а. м. пространства [img: http://localhost:8080/file/010135-227.jpg] образуют решетку относительно операций пересечения и объединения. При этом идеал пересечения [img: http://localhost:8080/file/010135-228.jpg] совпадает с суммой идеалов [img: http://localhost:8080/file/010135-229.jpg], а идеал объединения [img: http://localhost:8080/file/010135-230.jpg] - с пересечением идеалов [img: http://localhost:8080/file/010135-231.jpg]. Все множество [img: http://localhost:8080/file/010135-232.jpg] является А. а. м., к-рое наз. аффинным пространством над полем kи обозначается [img: http://localhost:8080/file/010135-233.jpg] ему соответствует нулевой идеал. Пустое подмножество множества [img: http://localhost:8080/file/010135-234.jpg] тоже есть А. а. м. с единичным идеалом. Факторкольцо [img: http://localhost:8080/file/010135-235.jpg] наз. координатным кольцом А. а. м. X. Оно отождествляется с кольцом k-регулярных функций на X, т. е. с кольцом [img: http://localhost:8080/file/010135-236.jpg] -значных функций f: [img: http://localhost:8080/file/010135-237.jpg] для к-рых существует такой многочлен [img: http://localhost:8080/file/010135-238.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010135-239.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010135-240.jpg]. А. а. м. Xназ. неприводимым, если оно не является объединением двух собственных аффинных алгебраич. подмножеств. Эквивалентное определение состоит в том, что идеал [img: http://localhost:8080/file/010135-241.jpg] должен быть простым. Неприводимые А. а. м. вместе с проективными алгебраич. множествами являлись объектами классической алгебраич. геометрии. Они наз. соответственно аффинными алгебраическими многообразиями и проективными алгебраическими многообразиями над полем k(или k-многообразиями). А. а. м. наделяются структурой топологич. пространства. Замкнутыми множествами этой топологии (Зариского топологии).являются неприводимые аффинные алгебраич. подмножества. А. а. м. неприводимо тогда и только тогда, когда оно неприводимо как топологич. пространство. Дальнейшее развитие понятия А. а. м. приводит к понятиям аффинного многообразия и аффинной схемы.