Аффинное многообразие

аффинное алгебраическое многообразие,- обобщение понятия аффинного алгебраического множества. А. м. есть приведенная аффинная схема X конечного типа над полем k, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010135-243.jpg], где А - коммутативная fe-алгебра конечного типа без нильпотентных элементов. А. м. [img: http://localhost:8080/file/010135-244.jpg] - кольцо многочленов над полем k, наз. аффинным пространством над kи обозначается [img: http://localhost:8080/file/010135-245.jpg]. Аффинная схема является А. м. тогда и только тогда, когда она изоморфна приведенной замкнутой подсхеме аффинного пространства. Каждая система образующих [img: http://localhost:8080/file/010135-246.jpg] k-алгебры Аопределяет сюръективный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010135-247.jpg] определяемый формулой [img: http://localhost:8080/file/010135-248.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010135-249.jpg] - алгебраич. замыкание поля k. Подмножество множества [img: http://localhost:8080/file/010135-250.jpg], состоящее из общих нулей всех многочленов идеала [img: http://localhost:8080/file/010135-251.jpg], является аффинным алгебраич. множеством над полем k. Координатное кольцо такого аффинного алгебраич. множества изоморфно кольцу А. В свою очередь каждое аффинное алгебраич. множество Xнад полем kопределяет А. м. [img: http://localhost:8080/file/010135-252.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010135-253.jpg] - координатное кольцо [img: http://localhost:8080/file/010135-254.jpg]. При этом множество точек А. м. находится во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми подмногообразиями соответствующего аффинного алгебраич. множества. С каждым А. м. [img: http://localhost:8080/file/010135-255.jpg] связан функтор на категории k-алгебр, определяемый соответствием [img: http://localhost:8080/file/010135-256.jpg] В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010135-257.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010135-258.jpg]), элементы множества [img: http://localhost:8080/file/010135-259.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010135-260.jpg]) наз. геометрическим и (соответственно рациональными) точками А. м. X. Множество [img: http://localhost:8080/file/010135-261.jpg] находится в биективном соответствии с множеством максимальных идеалов [img: http://localhost:8080/file/010135-262.jpg] кольца [img: http://localhost:8080/file/010135-263.jpg], а также с множеством точек любого аффинного алгебраич. множества [img: http://localhost:8080/file/010135-264.jpg], координатное кольцо к-рого изоморфно [img: http://localhost:8080/file/010135-265.jpg]. При этом спектральная топология в пространстве [img: http://localhost:8080/file/010135-266.jpg] индуцирует на всюду плотном подмножестве [img: http://localhost:8080/file/010135-267.jpg] топологию, к-рая соответствует топологии Зариского на V. И. В. Долгачее.