Аффинное пространство

над полем k - множество А(элементы к-рого наз. точками А. п.), к-рому сопоставлены векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/010135-270.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/010135-271.jpg] (наз. пространством присоединенным к А).и отображение множества [img: http://localhost:8080/file/010135-272.jpg] в пространство [img: http://localhost:8080/file/010135-273.jpg] (образ элемента [img: http://localhost:8080/file/010135-274.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/010135-275.jpg] и наз. вектором с началом аи концом b), обладающее свойствами: для любой фиксированной точки аотображение [img: http://localhost:8080/file/010135-276.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-277.jpg] является биекцией [img: http://localhost:8080/file/010135-278.jpg] для любых точек [img: http://localhost:8080/file/010135-279.jpg] выполняется соотношение Шаля: [img: http://localhost:8080/file/010135-280.jpg] Размерностью А. п. A наз. размерность L. Точка [img: http://localhost:8080/file/010135-281.jpg] и вектор [img: http://localhost:8080/file/010135-282.jpg] определяют другую точку, обозначаемую [img: http://localhost:8080/file/010135-283.jpg] т. е. аддитивная группа векторов пространства Lтранзитивно и свободно действует на А. п., соответствующем [img: http://localhost:8080/file/010135-284.jpg]. Примеры. 1) Множество векторов пространства [img: http://localhost:8080/file/010135-285.jpg] является А. п. [img: http://localhost:8080/file/010135-286.jpg], присоединенное к нему пространство совпадает с [img: http://localhost:8080/file/010135-287.jpg]. В частности, поле скаляров есть А. п. размерности 1. Если [img: http://localhost:8080/file/010135-288.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010135-289.jpg] наз. гс-м ерным координатным А. п. над полем k, точки его [img: http://localhost:8080/file/010135-290.jpg] определяют вектор [img: http://localhost:8080/file/010135-291.jpg] 2) Дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве над полем kявляется А. п. 3) Множество решений системы линейных (алгебраических или дифференциальных) уравнений является А. п., присоединенным к к-рому является пространство решений соответствующей однородной системы уравнений. Подмножество [img: http://localhost:8080/file/010135-292.jpg] А. п. Аназ. аффинным подпространством (или линейным многообразием) в А, если множество векторов [img: http://localhost:8080/file/010135-293.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-294.jpg] образует подпространство пространства [img: http://localhost:8080/file/010135-295.jpg] Каждое аффинное подпространство [img: http://localhost:8080/file/010135-296.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010135-297.jpg] - нек-рое подпространство в [img: http://localhost:8080/file/010135-298.jpg], а а - произвольный элемент из А'. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010135-299.jpg] наз. аффинным, если существует линейное отображение присоединенных векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/010135-300.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010135-301.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/010135-302.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/010135-303.jpg] Биективное аффинное отображение наз. аффинным изоморфизмом. Все А. п. одинаковой размерности аффинно изоморфны между собой. Аффинные изоморфизмы А. п. A в себя образуют группу, наз. аффинной группой А. п. Аи обозначаемую [img: http://localhost:8080/file/010135-304.jpg]. Аффинная группа А. п. [img: http://localhost:8080/file/010135-305.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/010135-306.jpg]. Каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/010135-307.jpg] задается формулой [img: http://localhost:8080/file/010135-308.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010135-309.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010135-310.jpg] - обратимая матрица. Аффинная группа [img: http://localhost:8080/file/010135-311.jpg] содержит инвариантную подгруппу, наз. подгруппой параллельных переносов, состоящую из отображений [img: http://localhost:8080/file/010136-1.jpg], для к-рых отображение ср: [img: http://localhost:8080/file/010136-2.jpg] является тождественным. Эта группа изоморфна аддитивной группе векторов пространства [img: http://localhost:8080/file/010136-3.jpg]. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010136-4.jpg] определяет сюръективный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010136-5.jpg] в общую линейную группу [img: http://localhost:8080/file/010136-6.jpg], ядром к-рого является подгруппа параллельных переносов. Если [img: http://localhost:8080/file/010136-7.jpg] - евклидово пространство, то прообраз ортогональной группы наз. подгруппой евклидовых движе-н и п. Прообраз специальной линейной группы [img: http://localhost:8080/file/010136-8.jpg] наз. экв и аффинной подгруппой (см. Аффинная унимодулярная группа). Подгруппа [img: http://localhost:8080/file/010136-9.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010136-10.jpg] состоящая из отображений [img: http://localhost:8080/file/010136-11.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/010136-12.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/010136-13.jpg] и любых [img: http://localhost:8080/file/010136-14.jpg] наз. центроаффинной подгруппой, она изоморфна общей линейной группе GL пространства L. В аягебраич. геометрии А. п. также наз. аффинные алгебраические множества, аффинные многообразия или аффинные схемы специального вида. Каждое конечномерное А. п. можно, в свою очередь, снабдить структурой аффинного алгебраич. множества, снабженного топологией Зариского. Аналогично строится А. п., ассоциированное с векторным пространством над телом k.