Банаха - мазура функционал

Банаха - Мазура оператор, - концепция вычислимого функционала (оператора), предложенная С. Банахом (S. Banach) и С. Мазуром (см. [1]) и трактующая вычислимость функционала (оператора), действующего из множества М 1 в множество М 2, как его свойство переводить всякую вычислимую последовательность элементов М 1 в вычислимую последовательность элементов М 2 (см. Вычислимая функция). Пусть R - множество всех одноместных общерекурсивных функций. Функционал Ф, определенный на Rи принимающий натуральные значения, наз. вычислимым по Банаху- Мазур у, или Б.- М. ф., если для всякой двухместной общерекурсивной функции [img: http://localhost:8080/file/010201-375.jpg] существует общерекурсивная функция [img: http://localhost:8080/file/010201-376.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/010201-377.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/010201-378.jpg] рассматривается как функция от [img: http://localhost:8080/file/010201-379.jpg] при каждом фиксированном п). Всякий общерекурспвный функционал и всюду определенный эффективный функционал (см. Конструктивное метрическое пространство).являются Б.- М. ф. С другой стороны, был построен пример Б.- М. ф., не совпадающего ни с каким общерекурсивным, а следовательно, и ни с каким эффективным функционалами (см. [2]). Важнейшим свойством Б.- М. ф. является их непрерывность (см. [1]): значения таких функционалов на любой общерекурсивной функции определяются лишь конечным числом значений этой функции. Вышеописанная концепция вычислимости распространяется на функции действительного переменного. Пусть С - множество вычислимых последовательностей вычислимых действительных чисел; каждая последовательность [img: http://localhost:8080/file/010201-380.jpg] задается парой общерекурсивных функций [img: http://localhost:8080/file/010201-381.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010201-382.jpg] таких, что при всех [img: http://localhost:8080/file/010201-383.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010201-384.jpg] Функция действительного переменного ф наз. вычислимой по Банаху- Мазуру (множество таких функций обозначим [img: http://localhost:8080/file/010201-385.jpg]), если для любой последовательности [img: http://localhost:8080/file/010201-386.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010201-387.jpg] последовательность [img: http://localhost:8080/file/010201-388.jpg] также принадлежит С. Каждая функция [img: http://localhost:8080/file/010201-389.jpg] непрерывна во всех вычислимых точках (см. [1]; таким образом, напр., sgn [img: http://localhost:8080/file/010201-390.jpg]). Вопрос о том, являются ли все функции из [img: http://localhost:8080/file/010201-391.jpg] вычислимо непрерывными, остается открытым (1977). Множество [img: http://localhost:8080/file/010201-392.jpg] оказывается замкнутым относительно ряда используемых в анализе операций, что позволяет успешно развивать на его базе вычислимый анализ (см. [1]).