Бемольная форма

- измеримая r-мерная дифференциальная форма [img: http://localhost:8080/file/010204-296.jpg] на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/010204-297.jpg] такая, что: комасса [img: http://localhost:8080/file/010204-298.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/010204-299.jpg]; существует [img: http://localhost:8080/file/010204-300.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/010204-301.jpg] для любого симплекса [img: http://localhost:8080/file/010204-302.jpg], удовлетворяющего условию: существует измеримое [img: http://localhost:8080/file/010204-303.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/010204-304.jpg] измерима на [img: http://localhost:8080/file/010204-305.jpg] и на любой из его граней [img: http://localhost:8080/file/010204-306.jpg], составляющих [img: http://localhost:8080/file/010204-307.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010204-308.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010204-309.jpg] означает [img: http://localhost:8080/file/010204-310.jpg] -мерную меру Лебега пересечения множества Мс нек-рой s-мерной плоскостью. Если Xесть r-мерная бемольная коцепь в Л, то существует ограниченная [img: http://localhost:8080/file/010204-311.jpg] -мерная форма [img: http://localhost:8080/file/010204-312.jpg] в R, измеримая в любом симплексе [img: http://localhost:8080/file/010204-313.jpg] относительно плоскости, содержащей [img: http://localhost:8080/file/010204-314.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/010204-315.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010204-316.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010204-317.jpg] - комасса коцепи X. Обратно, любой г-мерной Б. ф. [img: http://localhost:8080/file/010204-318.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010204-319.jpg] соответствует но формуле (1) единственная r-мерная бемольная коцепь [img: http://localhost:8080/file/010204-320.jpg] для любого симплекса [img: http://localhost:8080/file/010204-321.jpg], удовлетворяющего вышеуказанному условию, причем [img: http://localhost:8080/file/010204-322.jpg] Форма [img: http://localhost:8080/file/010204-323.jpg] и коцепь Xназ. ассоциированным и. Формы, ассоциированные с одной и той же коцепью, эквивалентны, т. е. равны почти всюду в R, и среди них есть бемольный представитель. Между n-мерными бемольными коцепями Xи классами эквивалентных измеримых ограниченных функций [img: http://localhost:8080/file/010204-324.jpg] существует взаимно однозначное соответствие, при к-ром [img: http://localhost:8080/file/010204-325.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010204-326.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010204-327.jpg] - последовательность [img: http://localhost:8080/file/010204-328.jpg] -мерных симплексов, стягивающихся к точке [img: http://localhost:8080/file/010204-329.jpg] так, что их диаметры [img: http://localhost:8080/file/010204-330.jpg], но [img: http://localhost:8080/file/010205-1.jpg] при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/010205-2.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010205-3.jpg] - объем [img: http://localhost:8080/file/010205-4.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010205-5.jpg] - измеримая суммируемая функция в R, значениями к-рой являются r-векторы; она наз. соответствующей r-мерной бемольной цепи А, если [img: http://localhost:8080/file/010205-6.jpg] для всех r-мерных бемольных коцепей X(и тогда Аназ. лебеговой цепью). Отображение [img: http://localhost:8080/file/010205-7.jpg] является линейным взаимно однозначным отображением множества классов эквивалентности функций [img: http://localhost:8080/file/010205-8.jpg] в пространство бемольных цепей [img: http://localhost:8080/file/010205-9.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010205-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010205-11.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010205-12.jpg] - масса цепи [img: http://localhost:8080/file/010205-13.jpg] - масса r- вектора [img: http://localhost:8080/file/010205-14.jpg]. Кроме того, множество образов непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/010205-15.jpg] плотно в [img: http://localhost:8080/file/010205-16.jpg]. Представления (1) и (2) обобщают аналогичные результаты для диезных форм и диезных коцепей; напр., дифференциал Б. ф. [img: http://localhost:8080/file/010205-17.jpg], определяемый формулой [img: http://localhost:8080/file/010205-18.jpg], является также Б. ф., и выполнена теорема Стокса: для любого симплекса [img: http://localhost:8080/file/010205-19.jpg]; r-мерная бемольная [img: http://localhost:8080/file/010205-20.jpg] коцепь - слабый предел гладких коцепей, т. е. таких, для к-рых ассоциированные формы со являются гладкими, и т. д.