Бергмана кернфункция

функция комплексных переменных, обладающая свойством воспроизводящего ядра и определяемая для любой области [img: http://localhost:8080/file/010205-63.jpg], в к-рой существуют голоморфные функции f не тождественные 0, принадлежащие классу [img: http://localhost:8080/file/010205-64.jpg] по мере Лебега [img: http://localhost:8080/file/010205-65.jpg] Введена С. Бергманом [1]. Множество указанных функций [img: http://localhost:8080/file/010205-66.jpg] образует гильбертово пространство [img: http://localhost:8080/file/010205-67.jpg] с ортонормированным базисом [img: http://localhost:8080/file/010205-68.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010205-69.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010205-70.jpg] - пространство голоморфных функций. Функция [img: http://localhost:8080/file/010205-71.jpg] наз. Б. к. (или просто кернфункцией) области D. Ряд справа равномерно сходится на компактных подмножествах [img: http://localhost:8080/file/010205-72.jpg] и принадлежит [img: http://localhost:8080/file/010205-73.jpg] при каждом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/010205-74.jpg], его сумма не зависит от выбора орто-нормированного базиса [img: http://localhost:8080/file/010205-75.jpg]. Б. к. зависит от [img: http://localhost:8080/file/010205-76.jpg] комплексных переменных и определена в области [img: http://localhost:8080/file/010205-77.jpg]; она обладает свойством симметрии [img: http://localhost:8080/file/010205-78.jpg], голоморфна по переменным z и антиголоморфна по [img: http://localhost:8080/file/010205-79.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010205-80.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010205-81.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010205-82.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010205-83.jpg] Основным свойством Б. к. является ее воспроизводящее свойство: для любой функции [img: http://localhost:8080/file/010205-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010205-85.jpg] и любой точки [img: http://localhost:8080/file/010205-86.jpg] справедливо интегральное представление [img: http://localhost:8080/file/010205-87.jpg] Экстремальные свойства Б. к. 1) Для любой точки [img: http://localhost:8080/file/010205-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010205-89.jpg] 2) Пусть точка [img: http://localhost:8080/file/010205-90.jpg] такова, что в классе [img: http://localhost:8080/file/010205-91.jpg] имеются функции с условием [img: http://localhost:8080/file/010205-92.jpg]. Тогда функция [img: http://localhost:8080/file/010205-93.jpg] удовлетворяет этому условию и имеет норму [img: http://localhost:8080/file/010205-94.jpg], минимальную для всех таких f. Функция [img: http://localhost:8080/file/010205-95.jpg] наз. экстремальной функцией области D. Изменение Б. к. при биголоморфных отображениях выражается в следующей теореме: если [img: http://localhost:8080/file/010205-96.jpg] - биголоморфное отображение области [img: http://localhost:8080/file/010205-97.jpg] на область [img: http://localhost:8080/file/010205-98.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010205-99.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010205-100.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010205-101.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010205-102.jpg] - якобиан обратного отображения; Благодаря этому свойству эрмитова квадратичная форма [img: http://localhost:8080/file/010205-103.jpg] инвариантна относительно биголоморфных отображений. Функция [img: http://localhost:8080/file/010205-104.jpg], к-рую также наз. кернфунк-цией, играет значительную роль во внутренней геометрии областей. В общем случае она неотрицательная, а функция [img: http://localhost:8080/file/010205-105.jpg] плюрисубгармоническая. В областях [img: http://localhost:8080/file/010205-106.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010205-107.jpg] положительная (напр., в ограниченных областях), функции [img: http://localhost:8080/file/010205-108.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010205-109.jpg] строго плюрисубгармонические. Последнее эквивалентно тому, что в таких областях [img: http://localhost:8080/file/010205-110.jpg] указанная форма [img: http://localhost:8080/file/010205-111.jpg] положительно определена и, следовательно, задает в [img: http://localhost:8080/file/010205-112.jpg] эрмитову риманову метрику. Эта метрика не меняется при биголоморфных отображениях и наз. метрикой Бергмана. Ее можно рассматривать как частный случай Кэлера метрики. Из экстремального свойства 1) следует, что коэффициенты метрики Бергмана неограниченно возрастают при подходе к нек-рым граничным точкам. Если [img: http://localhost:8080/file/010205-113.jpg] - строго псевдовыпуклая область или аналитич. олиэдр, то [img: http://localhost:8080/file/010205-114.jpg] неограниченно возрастает при любом подходе z к границе области D. Всякая область, обладающая этим свойством Б. к., является областью голоморфности. Для простейших областей Б. к. вычисляется в явном виде. Напр., Б. к. для шара В: [img: http://localhost:8080/file/010205-115.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010205-116.jpg] имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010205-117.jpg] для поликруга [img: http://localhost:8080/file/010205-118.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010205-119.jpg] В частном случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010205-120.jpg] и область [img: http://localhost:8080/file/010205-121.jpg] есть круг [img: http://localhost:8080/file/010205-122.jpg] на комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/010205-123.jpg], метрика Бергмана обращается в классическую гиперболич. метрику [img: http://localhost:8080/file/010205-124.jpg] инвариантную относительно конформных отображений и определяющую в [img: http://localhost:8080/file/010205-125.jpg] геометрию Лобачевского.