Бергмана - вейля представление

Бергмана- Вейля формула, Вейля формула,- интегральное представление голоморфных функций, полученное А. Вейлем и С. Бергманом (см.[1], [2]) и определяемое следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010205-126.jpg] - область голоморфности в [img: http://localhost:8080/file/010205-127.jpg], функции [img: http://localhost:8080/file/010205-128.jpg] голоморфны в [img: http://localhost:8080/file/010205-129.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010205-130.jpg] Тогда любую функцию [img: http://localhost:8080/file/010205-131.jpg] голоморфную в [img: http://localhost:8080/file/010205-132.jpg] и непрерывную в [img: http://localhost:8080/file/010205-133.jpg] в любой точке [img: http://localhost:8080/file/010205-134.jpg], можно представить формулой [img: http://localhost:8080/file/010205-135.jpg] где суммирование производится по всем [img: http://localhost:8080/file/010205-136.jpg] а интегрирование - по соответствующим образом ориентированным [img: http://localhost:8080/file/010205-137.jpg] -мерным поверхностям образующим остов области [img: http://localhost:8080/file/010205-138.jpg] (см. Аналитический [img: http://localhost:8080/file/010205-139.jpg] полиэдр), [img: http://localhost:8080/file/010205-140.jpg] а функции [img: http://localhost:8080/file/010205-141.jpg] голоморфны в области [img: http://localhost:8080/file/010205-142.jpg] и определяются в соответствии с Xефера теоремой (см. [3], с. 245) из равенств [img: http://localhost:8080/file/010205-143.jpg] Интегральное представление (*) наз. представлением Бергмана- Вейля. Области V, фигурирующие в Б.- В. п., наз. областями Вейля; обычно для них требуется дополнительное условие, чтобы ранги матриц [img: http://localhost:8080/file/010205-144.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010205-145.jpg] на соответствующих множествах [img: http://localhost:8080/file/010205-146.jpg] были максимальными [img: http://localhost:8080/file/010205-147.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010205-148.jpg] (такие области Вейля наз. регулярными). Области Вейля в Б.- В. п. можно заменить аналитическими полиэдрами [img: http://localhost:8080/file/010205-149.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010205-150.jpg] - ограниченные области с кусочно гладкими границами [img: http://localhost:8080/file/010205-151.jpg] на плоскости [img: http://localhost:8080/file/010205-152.jpg]. Б,- В. п. определяет значение голоморфной функции [img: http://localhost:8080/file/010205-153.jpg] внутри аналитич. олиэдра [img: http://localhost:8080/file/010205-154.jpg] по значениям [img: http://localhost:8080/file/010205-155.jpg] на его остове [img: http://localhost:8080/file/010205-156.jpg]; при [img: http://localhost:8080/file/010205-157.jpg] размерность [img: http://localhost:8080/file/010205-158.jpg] строго меньше размерности [img: http://localhost:8080/file/010205-159.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010205-160.jpg] аналитич. олиэдры вырождаются в области с кусочно гладкими границами, остов и граница совпадают, а если еще [img: http://localhost:8080/file/010205-161.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010205-162.jpg], то Б.- В. п. совпадает с интегральной формулой Коши. Важным свойством Б,- В. П. является голоморфность (по [img: http://localhost:8080/file/010205-163.jpg]) его ядра. Поэтому если вместо голоморфной функции [img: http://localhost:8080/file/010205-164.jpg] поставить произвольную интегрируемую на а функцию, то правая часть Б.- В. п. даст функцию, голоморфную всюду в [img: http://localhost:8080/file/010205-165.jpg] и почти всюду в [img: http://localhost:8080/file/010205-166.jpg]; такие функции наз. интегралами типа Бергмана- Вейля. Если [img: http://localhost:8080/file/010205-167.jpg] голоморфна в [img: http://localhost:8080/file/010205-168.jpg] и непрерывна в [img: http://localhost:8080/file/010205-169.jpg], то ее интеграл типа Бергмана - Вейля равен нулю почти всюду в [img: http://localhost:8080/file/010205-170.jpg] Из В.- В. п. в области Вейля [img: http://localhost:8080/file/010205-171.jpg] после замены [img: http://localhost:8080/file/010205-172.jpg] получается разложение Вейля [img: http://localhost:8080/file/010205-173.jpg] в ряд по функциям, голоморфным в области D, и этот ряд сходится равномерно на компактных подмножествах V.