Беренса - фишера проблема

аналитическая проблема, возникшая в связи со статистич. задачей сравнения по эмпирич. данным математич. ожиданий в двух нормальных распределениях, дисперсии к-рых неизвестны (предполагается, что отношение дисперсий также неизвестно). Эта задача была поставлена В. Бе-ренсом [1] в связи с вопросом обработки данных об урожайности. Современная формулировка Б.- Ф. п. принадлежит Р. Фишеру (R. Fisher) и основана на понятии достаточной статистики. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010205-174.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010205-175.jpg] - взаимно независимые случайные [img: http://localhost:8080/file/010205-176.jpg] величины, распределенные нормально, причем [img: http://localhost:8080/file/010205-177.jpg]. Предполагается, что значения математич. ожиданий [img: http://localhost:8080/file/010205-178.jpg], дисперсий [img: http://localhost:8080/file/010205-179.jpg], а также их отношения [img: http://localhost:8080/file/010205-180.jpg] неизвестны. Достаточная статистика в случае [img: http://localhost:8080/file/010205-181.jpg] есть четырехмерный вектор [img: http://localhost:8080/file/010205-182.jpg], компоненты к-рого выражаются формулами [img: http://localhost:8080/file/010205-183.jpg] и представляют собой взаимно независимые случайные величины, причем [img: http://localhost:8080/file/010205-184.jpg] подчиняются стандартному нормальному распределению, а [img: http://localhost:8080/file/010205-185.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010205-186.jpg] - распределению хи-квадрат с [img: http://localhost:8080/file/010205-187.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010205-188.jpg] степенями свободы соответственно. Поскольку доста-.точная статистика несет в себе ту же информацию о неизвестных параметрах [img: http://localhost:8080/file/010205-189.jpg] что и исходные случайные величины [img: http://localhost:8080/file/010205-190.jpg] в количестве [img: http://localhost:8080/file/010205-191.jpg] то при проверке гипотез о значениях этих параметров разумно рассматривать лишь достаточную статистику. В частности, это соображение служит основой современной формулировки задачи о проверке гипотезы, согласно к-рой [img: http://localhost:8080/file/010205-192.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010205-193.jpg] - заранее заданное число); при этом Б.- Ф. п. заключается в отыскании такого множества [img: http://localhost:8080/file/010205-194.jpg] в пространстве возможных значений случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010205-195.jpg] чтобы при справедливости проверяемой гипотезы вероятность события [img: http://localhost:8080/file/010205-196.jpg] не зависела от всех неизвестных параметров и в точности равнялась наперед заданному Числу [img: http://localhost:8080/file/010205-197.jpg] из интервала [img: http://localhost:8080/file/010205-198.jpg]. Вопрос о существовании решения В.- Ф. п. долгое время дискутировался видными математиками (главным образом в связи с предложенным Р. Фишером подходом к этой проблеме, по существу выходящим за рамки теории вероятностей). В 1964 Ю. В. Линник (совместно с учениками) доказал, что при объемах выборок [img: http://localhost:8080/file/010205-199.jpg] и п 2 разной четности решение В.- Ф. п. [img: http://localhost:8080/file/010205-200.jpg] существует. Вопрос же о существовании решения для [img: http://localhost:8080/file/010205-201.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010205-202.jpg] одинаковой четности остался открытым. Б.- Ф. п. неоднократно подвергалась видоизменениям и обобщениям. В частности, А. Вальд (A. Wald) предложил задачу об отыскании множества К a. в пространстве двух церемонных [img: http://localhost:8080/file/010205-203.jpg]. Вопрос о существовании такого решения остается открытым. Однако можно эффективно построить такое множество [img: http://localhost:8080/file/010205-204.jpg], что в случае справедливости проверяемой гипотезы [img: http://localhost:8080/file/010205-205.jpg] вероятность события [img: http://localhost:8080/file/010205-206.jpg] хотя и будет зависеть от неизвестного отношения [img: http://localhost:8080/file/010205-207.jpg] но ее отклонение от заданного [img: http://localhost:8080/file/010205-208.jpg] будет мало. Это обстоятельство и служит основой современных рекомендаций для практич. построения критериев сравнения [img: http://localhost:8080/file/010205-209.jpg]. Простые и удобные в вычислительном отношении критерии для сравнения [img: http://localhost:8080/file/010205-210.jpg] предложены В. И. Романовским, М. Бартлеттом (М. Bartlett), Г. Шеффе (Н. Scheffe) и др. Однако статистики этих критериев в терминах достаточной статистики не выражаются и поэтому имеют, вообще говоря, меньшую мощность, чем критерии, конструируемые с помощью решения Б.- Ф. п. и ее обобщений.