Бернулли многочлены

многочлены вида [img: http://localhost:8080/file/010206-61.jpg] где Bs- Бернулли числа. Так, для n=0, 1, 2, 3 [img: http://localhost:8080/file/010206-62.jpg] Б. м. можно вычислять по рекуррентной формуле [img: http://localhost:8080/file/010206-63.jpg] Для натурального [img: http://localhost:8080/file/010206-64.jpg] Б. м. впервые рассматривались Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) в связи с вычислением суммы [img: http://localhost:8080/file/010206-65.jpg] При произвольном хБ. м. впервые изучал Л. Эйлер (L. Euler) (см. [1], с. 300). Термин "Б. м." ввел И. Л. Раабе (J. L. Raabe, 1851). Основное свойство: Б. м. удовлетворяют разностному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010206-66.jpg] и поэтому играют в исчислении конечных разностей ту же роль, что и степенные функции в дифференциальном исчислении. Б. м. принадлежат к классу Аппеля многочленов, т. е. удовлетворяют условию: [img: http://localhost:8080/file/010206-67.jpg] и тесно связаны с Эйлера многочленами: [img: http://localhost:8080/file/010206-68.jpg] Производящая функция Б. м. имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010206-69.jpg] Для Б. м. справедливо разложение в Фурье ряд для п=1 [img: http://localhost:8080/file/010206-70.jpg] и для [img: http://localhost:8080/file/010206-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010206-72.jpg] Б. м. удовлетворяют соотношениям: [img: http://localhost:8080/file/010206-73.jpg] (теорема умножения), [img: http://localhost:8080/file/010206-74.jpg] (теорема, дополнения), [img: http://localhost:8080/file/010206-75.jpg] (теорема сложения аргументов). Б. м. используются для выражения остаточного члена Эйлера - Маклорена формулы суммирования и для разложения функций в ряды. Из свойств Б. м. выва-дятся многие важные свойства чисел Бернулли: Б. м. используются для интегрального представления дифференцируемых периодпч. функций. [img: http://localhost:8080/file/010206-76.jpg] и играют важную роль в теории приближения таких функций тригонометрия, полиномами и др. агрегатами, см. Фавара задача. Известны различного рода обобщения Б. м. Н. Э. Нёрлундом введены обобщенные Б. м. порядка v и степени п: [img: http://localhost:8080/file/010206-77.jpg] (нек-рые частные случаи этих многочленов рассматривались ранее В. Г. Имшенецким, Н. Я. Сониным и Д. М. Синцовым). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010206-78.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010206-79.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/010206-80.jpg] последовательно определяются как полиномиальные решения степени празностного уравнения [img: http://localhost:8080/file/010206-81.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010206-82.jpg] (обобщенные числа Бернулли) находятся из рекуррентного соотношения [img: http://localhost:8080/file/010206-83.jpg]