Бесконечного порядка уравнение

в комплексной области - дифференциальное уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/010208-59.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010208-60.jpg] - искомая функция комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010208-61.jpg] - заданные.функции. Наиболее полно изучены.Б. п. у. с постоянными коэффициентами: [img: http://localhost:8080/file/010208-62.jpg] Если.характеристич. функция [img: http://localhost:8080/file/010208-63.jpg] есть целая функция экспоненциального типа [img: http://localhost:8080/file/010208-64.jpg], то левая часть [img: http://localhost:8080/file/010208-65.jpg] имеет смысл при [img: http://localhost:8080/file/010208-66.jpg], когда [img: http://localhost:8080/file/010208-67.jpg] - функция, аналитическая в круге [img: http://localhost:8080/file/010208-68.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010208-69.jpg] необходимо предположить, что [img: http://localhost:8080/file/010208-70.jpg] - целая функция. Отличие от уравнения конечного порядка состоит уже в том, что решение [img: http://localhost:8080/file/010208-71.jpg] может иметь особенности, даже когда [img: http://localhost:8080/file/010208-72.jpg] - целая функция. Если [img: http://localhost:8080/file/010208-73.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010208-74.jpg] есть целая функция, то область существования любого решения выпукла [1]. Общее решение слагается из частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010208-75.jpg] - корни характеристич. уравнения [img: http://localhost:8080/file/010208-76.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010208-77.jpg] - соответственно их кратности. Однородное уравнение имеет элементарные частные решения [img: http://localhost:8080/file/010208-78.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010208-79.jpg]. Решению однородного уравнения можно отнести по определенному правилу ряд из элементарных решений. Если характеристич. функция [img: http://localhost:8080/file/010208-80.jpg] имеет правильный рост (в нек-ром определенном смысле), то найдется. подпоследовательность частичных сумм этого ряда, сходящаяся к [img: http://localhost:8080/file/010208-81.jpg] (см. [4]). В общем случае функцию [img: http://localhost:8080/file/010208-82.jpg] можно аппроксимировать с любой точностью конечными линейными комбинациями из элементарных решений [5]. В случае [img: http://localhost:8080/file/010208-83.jpg] Б. п. у. может иметь неаналитические решения [2]. При нек-рых условиях эти решения образуют квазианалитический класс функций с менее сильными ограничениями на рост производных, чем в классич. теореме Данжуа - Карлемана. Б. п. у. имеют различные применения: для изучения последовательностей полиномов Дирихле, полноты систем аналитических функций, единственности аналитических и гармонических функций, разрешимости таких проблем анализа, как обобщенная проблема квазианалитичности, обобщенная проблема единственности моментов и т. д.