Бесконечномерное представление

группы Ли - представление группы Ли в бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений групп Ли есть часть общей теории, представлений то-пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет использовать в этой теории средства анализа (в частности, инфинитезимальный метод), а также значительно расширить класс "естественных" групповых алгебр (функциональных алгебр относительно свертки), рассмотрение к-рых связывает данную теорию с гармоническим анализом абстрактным, т. е. с частью общей теории топологических алгебр. Пусть G - группа Ли. Представлением группы Gв широком смысле наз. произвольный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010208-103.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010208-104.jpg] - группа всех обратимых линейных преобразований векторного пространства E: Если Е - топологич. векторное пространство, то обычно рассматриваются гомоморфизмы со значениями в адгебре С(Е).всех непрерывных линейных преобразований пространства Е, либо в алгебре S(Е).всех слабо непрерывных линейных преобразований пространства Е. Алгебры С(Е), S (Е).наделяются одной из стандарт-нйх топологий (напр., слабой или сильной). Представление ф наз. непрерывным (раздельно Х непрерывным), если вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/010208-105.jpg] непрерывна (раздельно непрерывна) на [img: http://localhost:8080/file/010208-106.jpg]. Если Е - квазиполное бочечное пространство, то всякое раздельно непрерывное представление непрерывно. Непрерывное представление ф наз. дифференцируемым (аналитически м), если операторная функция j(g) дифференцируема (аналитична) в S(E). Под размерностью представления [img: http://localhost:8080/file/010208-107.jpg] понимают размерность пространства Е. Важнейшим примером представления группы Gявляется ее регулярное представление [img: http://localhost:8080/file/010208-108.jpg] определяемое в том или ином классе функций f(z).на группе G. Если G - группа Ли, то ее регулярное представление непрерывно в С(G).и [img: http://localhost:8080/file/010208-109.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010208-110.jpg] определяется относительно Хаара меры на G) и дифференцируемо в [img: http://localhost:8080/file/010208-111.jpg] (относительно стандартной топологии в [img: http://localhost:8080/file/010208-112.jpg] - топологии компактной сходимости). Всякое непрерывное конечномерное представление группы G аналитично. Если G - комплексная группа Ли, то естественно рассматривать также ее комплексно аналитические (голоморфные) представления. Как правило, в теории представлений групп Ли рассматриваются только непрерывные представления, и условие непрерывности специально не оговаривается. Если группа G компактна, то все ее неприводимые (непрерывные) представления конечномерны. Соответственно, если G - полупростая комплексная группа Ли, то все ее неприводимые голоморфные представления конечномерны. Связь с представлениями групповых алгебр. Для группы Ли важнейшими групповыми алгебрами являются алгебра [img: http://localhost:8080/file/010208-113.jpg], алгебра i [img: http://localhost:8080/file/010208-114.jpg] - пополнение алгебры [img: http://localhost:8080/file/010208-115.jpg] по наименьшей регулярной норме (см. Алгебра функций), [img: http://localhost:8080/file/010208-116.jpg] - алгебра всех финитных бесконечно дифференцируемых функций на [img: http://localhost:8080/file/010208-117.jpg] - алгебра всех комплексных мер Радона с компактными носителями на [img: http://localhost:8080/file/010208-118.jpg] - алгебра всех финитных обобщенных функций (распределений Шварца) на [img: http://localhost:8080/file/010208-119.jpg], а также, для комплексной группы Ли, алгебра [img: http://localhost:8080/file/010208-120.jpg] всех аналитич. функционалов над [img: http://localhost:8080/file/010208-121.jpg] Линейные пространства [img: http://localhost:8080/file/010208-122.jpg] являются сопряженными, соответственно, к [img: http://localhost:8080/file/010208-123.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010208-124.jpg] - множество всех голоморфных функций на [img: http://localhost:8080/file/010208-125.jpg] (с топологией компактной сходимости). Все эти алгебры наделяются естественными топологиями; в частности, [img: http://localhost:8080/file/010208-126.jpg] является банаховой алгеброй- Умножение (свертка) элементов [img: http://localhost:8080/file/010208-127.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010208-128.jpg] - одна из указанных выше групповых алгебр, определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/010208-129.jpg] относительно правоинвариантной меры на [img: http://localhost:8080/file/010208-130.jpg], с естественным распространением этой операции на класс обобщенных функций. Интегральная формула [img: http://localhost:8080/file/010208-131.jpg] устанавливает естественную связь между представлениями группы [img: http://localhost:8080/file/010208-132.jpg] и представлениями алгебры [img: http://localhost:8080/file/010208-133.jpg] (при условии корректной определенности интеграла): если интеграл слабо сходится и определяет оператор [img: http://localhost:8080/file/010208-134.jpg] при каждом [img: http://localhost:8080/file/010208-135.jpg], то отображение [img: http://localhost:8080/file/010208-136.jpg] является гомоморфизмом. В этом случае говорят, что представление [img: http://localhost:8080/file/010208-137.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010208-138.jpg] продолжается до представления [img: http://localhost:8080/file/010208-139.jpg] алгебры А, пли является Л-представле я н и е м. Обратно, всякое слабо непрерывное невырожденное представление алгебры Аопределяется 1 по указанной формуле, нек-рым представлением группы G(слабо непрерывным при [img: http://localhost:8080/file/010208-140.jpg], слабо дифференцируемым при [img: http://localhost:8080/file/010208-141.jpg], слабо аналитическим при. [img: http://localhost:8080/file/010208-142.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010208-143.jpg]). Указанное соответствие сохраняет естественные соотношения между представлениями, такие, как топологич. неприводимость или эквивалентность. Если группа [img: http://localhost:8080/file/010208-144.jpg] унимодулярна, то ее унитарным представлениям (в гильбертовых пространствах соответствуют симметричные представления алгебры [img: http://localhost:8080/file/010208-145.jpg] относительно инволюции в [img: http://localhost:8080/file/010208-146.jpg] (см. Групповая алгебра). Если Е - секвенциально полное локально выпуклое хаусдорфово пространство, то всякое непрерывное представление группы [img: http://localhost:8080/file/010208-147.jpg] в пространстве [img: http://localhost:8080/file/010208-148.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010208-149.jpg] -представлением. Если, кроме того, представление группы [img: http://localhost:8080/file/010208-150.jpg] дифференцируемо, то оно является [img: http://localhost:8080/file/010208-151.jpg] -представлением. В частности, если [img: http://localhost:8080/file/010208-152.jpg] - рефлексивное или квазиполное бочечное пространство, то всякое раздельно непрерывное представление [img: http://localhost:8080/file/010208-153.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010208-154.jpg] -представлением, причем [img: http://localhost:8080/file/010208-155.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010208-156.jpg]. Инфинитезимальный метод. Если представление [img: http://localhost:8080/file/010208-157.jpg] дифференцируемо, то оно бесконечно дифференцируемо, и пространство [img: http://localhost:8080/file/010208-158.jpg] наделяется структурой [img: http://localhost:8080/file/010208-159.jpg] -модуля, где [img: http://localhost:8080/file/010208-160.jpg] -алгебра Ли группы [img: http://localhost:8080/file/010208-161.jpg], путем рассмотрения инфинитезимальных операторов Ли: [img: http://localhost:8080/file/010208-162.jpg] Операторы [img: http://localhost:8080/file/010208-163.jpg] образуют представление алгебры [img: http://localhost:8080/file/010208-164.jpg], наз. дифференциалом представления [img: http://localhost:8080/file/010208-165.jpg]. Вектор [img: http://localhost:8080/file/010208-166.jpg] наз. дифференцируемым (относительно [img: http://localhost:8080/file/010208-167.jpg]), если вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/010208-168.jpg] дифференцируема на G. Вектор [img: http://localhost:8080/file/010208-169.jpg] наз. аналитически м, если [img: http://localhost:8080/file/010208-170.jpg] - аналитич. функция в окрестности единичной точки [img: http://localhost:8080/file/010208-171.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010208-172.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010208-173.jpg] представлением, то пространство [img: http://localhost:8080/file/010208-174.jpg] всех бесконечно дифференцируемых векторов всюду плотно в Е. В частности, это верно для всех непрерывных представлений в банаховом пространстве; более того, в этом случае [4] пространство [img: http://localhost:8080/file/010208-175.jpg] всех аналитич. векторов всюду плотно в Е. Дифференциал [img: http://localhost:8080/file/010208-176.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010208-177.jpg] может быть приводимым, даже если [img: http://localhost:8080/file/010208-178.jpg] топологически неприводимо в Е. Двум эквивалентным представлениям группы G соответствуют эквивалентные дифференциалы в [img: http://localhost:8080/file/010208-179.jpg]); обратное, вообще говоря, неверно. Для унитарных представлений в гильбертовых пространствах [img: http://localhost:8080/file/010208-180.jpg] из эквивалентности дифференциалов в [img: http://localhost:8080/file/010208-181.jpg] следует эквивалентность представлений [7]. В конечномерном случае представление группы однозначно восстанавливается по своему дифференциалу. Представление алгебры [img: http://localhost:8080/file/010208-182.jpg] наз. интегрируемым (G-интегрируемым), если оно совпадает с дифференциалом нек-рого представления группы Gна подпространстве, всюду плотном в пространстве представления. Критерии интегрируемости известны (к 1977) лишь в частных случаях (см., напр., [4]). Если Gодносвязна, то всякое конечномерное представление алгебры [img: http://localhost:8080/file/010208-183.jpg] является G- интегрируемым. Неприводимые представления. Одной из основных задач теории представлений является классификация всех неприводимых представлений данной группы G, определяемых с точностью до эквивалентности, при согласованном определении понятий не-приводимости'и эквивалентности. Так, представляют интерес следующие две задачи. 1) Описание множества [img: http://localhost:8080/file/010208-184.jpg].всех классов унитарной эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G. 2) Описание множества [img: http://localhost:8080/file/010208-185.jpg] Всех классов эквивалентности по Феллу [7] вполне неприводимых представлений группы G. Для полупростых групп Ли с конечным центром эквивалентность по Феллу равносильна эквивалентности по Най-марку [7], причем имеет место естественное вложение [img: http://localhost:8080/file/010208-186.jpg]. Множества [img: http://localhost:8080/file/010208-187.jpg] естественно топологизируются; при этом топология в них не обязательно хаусдорфова [5]. Если G - компактная группа Ли, то [img: http://localhost:8080/file/010208-188.jpg] - дискретное пространство. Описание множества [img: http://localhost:8080/file/010208-189.jpg] в этом случае получено Э. Картаном (Е. Cartan) и Г. Вейяем (Н. Weyl). Линейная оболочка [img: http://localhost:8080/file/010208-190.jpg] матричных элементов группы G (т. е. матричных элементов представлений [img: http://localhost:8080/file/010208-191.jpg]) образует в этом случае подалгебру в [img: http://localhost:8080/file/010208-192.jpg] (алгебру сферич. функций), всюду плотную в С(G).и в [img: http://localhost:8080/file/010208-193.jpg] Матричные элементы образуют базис в [img: http://localhost:8080/file/010208-194.jpg]. Если матрицы всех представлений [img: http://localhost:8080/file/010208-195.jpg] определяются в базисе, по отношению к к-рому они унитарны, то соответствующие матричные элементы образуют ортогональный базис в [img: http://localhost:8080/file/010208-196.jpg] (теорема Петера- Be й-л я). Если группа G некомпактна, то ее неприводимые представления, как правило, бесконечномерны. Метод построения таких представлений, на примере классических матричных групп предложенный И. М. Гель-фандом и М. А. Наймарком [1], явился началом интенсивного развития теории унитарных бесконечномерных представлений. Обобщением этого метода для произвольных групп Ли является теория индуцированных представлений Дж. Макки[5]. В 50-х гг. 20 в. начинает развиваться также общая теория неунитарных представлений в локально выпуклых векторных пространствах, основанная в значительной степени на теории топологических векторных пространств и теории обобщенных функций. Детальное описание [img: http://localhost:8080/file/010208-197.jpg] известно (к 1977) для отдельных классов групп Ли (полупростых комплексных, нильпотентных и некоторых разрешимых групп Ли, а также их полупрямых произведений). Пусть G - полупростая группа Ли с конечным центром, [img: http://localhost:8080/file/010208-198.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010208-199.jpg] -представление в пространстве Еи К - компактная подгруппа в G. Вектор [img: http://localhost:8080/file/010208-200.jpg] наз. К- финитным, если его циклич. оболочка относительно Кконечномерна. Подпространство Vвсех /f-финит-ных векторов всюду плотно в Еи является прямой (алгебраической) суммой подпространств [img: http://localhost:8080/file/010208-201.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010208-202.jpg] - максимальное подпространство в F, представление Кв к-ром кратно [img: http://localhost:8080/file/010208-203.jpg]. Представление [img: http://localhost:8080/file/010208-204.jpg] наз. К- финитным, если dim [img: http://localhost:8080/file/010208-205.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010208-206.jpg]. Подгруппа Кназ. массивной, если всякое вполне неприводимое представление группы G является K-финитным. Принципиальное значение в теории представлении имеет следующий факт: если К - максимальная компактная подгруппа в G, то K массивна. Если векторы из Vдифференцируемы, то Vинвариантно относительно дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010208-207.jpg] представления [img: http://localhost:8080/file/010208-208.jpg]. Представление [img: http://localhost:8080/file/010208-209.jpg] наз. нормальным, если оно j-финитно и векторы из Vслабо аналитич. Если [img: http://localhost:8080/file/010208-210.jpg] нормально, то существует взаимно однозначное отображение (определяемое сужением на V). замкнутых подмодулей G-модуля [img: http://localhost:8080/file/010208-211.jpg] и подмодулей [img: http://localhost:8080/file/010208-212.jpg] -модуля [img: http://localhost:8080/file/010208-213.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010208-214.jpg] - алгебра Ли группы G(см. [7]). Таким образом, изучение нормальных представлений удается алгебраизовать-при помощи инфинитезимального метода. Примером нормального представления группы Gявляется ее элементарное представление [img: http://localhost:8080/file/010208-215.jpg]. Представление [img: http://localhost:8080/file/010208-216.jpg] вполне неприводимо для точек [img: http://localhost:8080/file/010208-217.jpg] общего положения. В общем случае [img: http://localhost:8080/file/010208-218.jpg] допускает разложение в конечный композиционный ряд, факторы к-рого вполне неприводимы. Всякое квазипростое неприводимое представление группы Gв банаховом пространстве инфиннтезимально эквивалентно одному из факторов [img: http://localhost:8080/file/010208-219.jpg], при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/010208-220.jpg]. Это верно также для вполне неприводимых представлений группы G в квазиполных локально выпуклых пространствах. При этом, если Gкомплексна, то вместо факторов [img: http://localhost:8080/file/010208-221.jpg] достаточно рассматривать подпредставления [img: http://localhost:8080/file/010208-222.jpg] (см. [7]). В простейшем случае [img: http://localhost:8080/file/010208-223.jpg] представление [img: http://localhost:8080/file/010208-224.jpg] апределяется парой комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/010208-225.jpg] с целочисленной разностью [img: http://localhost:8080/file/010208-226.jpg] и действует по формуле правых сдвигов [img: http://localhost:8080/file/010208-227.jpg] в. пространстве всех функций [img: http://localhost:8080/file/010208-228.jpg] удовлетворяющих условию однородности: [img: http://localhost:8080/file/010208-229.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010208-230.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010208-231.jpg] - положительные целые числа, то [img: http://localhost:8080/file/010208-232.jpg] содержит неприводимое конечномерное подпредставленпе [img: http://localhost:8080/file/010208-233.jpg] (в классе полиномов от [img: http://localhost:8080/file/010208-234.jpg],), фактор по к-рому вполне неприводим. Если - [img: http://localhost:8080/file/010208-235.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010208-236.jpg] отрицательные целые числа, то [img: http://localhost:8080/file/010208-237.jpg] имеет двойственную структуру. Во всех остальных случаях модуль [img: http://localhost:8080/file/010208-238.jpg] вполне неприводим. Множество [img: http://localhost:8080/file/010208-239.jpg] в этом случае находится во взаимно однозначном соответствии с множеством пар ([img: http://localhost:8080/file/010208-240.jpg]) (. [img: http://localhost:8080/file/010208-241.jpg] - целое), факторизованном по отношению ([img: http://localhost:8080/file/010208-242.jpg])~([img: http://localhost:8080/file/010208-243.jpg]). Подмножество [img: http://localhost:8080/file/010208-244.jpg] состоит из представлений основной серии ([img: http://localhost:8080/file/010208-245.jpg] - чисто мнимое) (см. [img: http://localhost:8080/file/010208-247.jpg]) и тривиального (единичного) представления d0, к-рое возникает при [img: http://localhost:8080/file/010208-248.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010208-249.jpg] - полупростая связная.комплексная группа Ли, В - ее максимальная разрешимая (борелевская) подгруппа, М - максимальный тор, [img: http://localhost:8080/file/010208-250.jpg] - картановская подгруппа, [img: http://localhost:8080/file/010208-251.jpg] - характер группы [img: http://localhost:8080/file/010208-252.jpg] (продолженный на В);множество [img: http://localhost:8080/file/010208-253.jpg] находится [7] во взаимно однозначном соответствии с [img: http://localhost:8080/file/010208-254.jpg], где А- множество всех характеров [img: http://localhost:8080/file/010208-255.jpg] - Вейля группа комплексной алгебры [img: http://localhost:8080/file/010208-256.jpg]. Для характеров "общего положения" представление [img: http://localhost:8080/file/010208-257.jpg] вполне неприводимо. Описание множества Gсведено к исследованию положительной определенности нек-рых билинейных форм, но окончательное описание (к 1977) неизвестно. Для вещественных групп особый интерес представляет так наз. дискретная серия представлений (прямые слагаемые в [img: http://localhost:8080/file/010208-258.jpg]). Все неприводимые. представления дискретной серди классифицированы [3] путем описания характеров этих представлений. Для нилыютентных связных групп Ли [8] множество [img: http://localhost:8080/file/010208-259.jpg] эквивалентно [img: http://localhost:8080/file/010208-260.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010208-261.jpg] - линейное пространство, дуальное к [img: http://localhost:8080/file/010208-262.jpg], и действие [img: http://localhost:8080/file/010208-263.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010208-264.jpg] сопряжено присоединенному представлению в [img: http://localhost:8080/file/010208-265.jpg] [9]. Соответствие устанавливается орбит методом18]. Подалгебра [img: http://localhost:8080/file/010208-266.jpg] наз. поляризацией элемента [img: http://localhost:8080/file/010208-267.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010208-268.jpg] аннулирует [img: http://localhost:8080/file/010208-269.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010208-270.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010208-271.jpg] - орбита [img: http://localhost:8080/file/010208-272.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/010208-273.jpg] (всякая орбита четно-мерна). Если [img: http://localhost:8080/file/010208-274.jpg] - соответствующая аналитич. одгруппа в [img: http://localhost:8080/file/010208-275.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010208-276.jpg] - характер группы [img: http://localhost:8080/file/010208-277.jpg], то представление [img: http://localhost:8080/file/010208-278.jpg], соответствующее [img: http://localhost:8080/file/010208-279.jpg], индуцируется характером [img: http://localhost:8080/file/010208-280.jpg] подгруппы Н. При этом [img: http://localhost:8080/file/010208-281.jpg] эквивалентно [img: http://localhost:8080/file/010208-282.jpg] тогда и только тогда, когда соответствующие функционалы [img: http://localhost:8080/file/010208-283.jpg] лежат на одной орбите [img: http://localhost:8080/file/010208-284.jpg]. В простейшем случае группы [img: http://localhost:8080/file/010208-285.jpg] всех унипотентных матриц по отношению к фиксированному базису в [img: http://localhost:8080/file/010208-286.jpg] орбиты общего положения в [img: http://localhost:8080/file/010208-287.jpg] являются двумерными плоскостями [img: http://localhost:8080/file/010208-288.jpg] и точками [img: http://localhost:8080/file/010208-289.jpg] на плоскости [img: http://localhost:8080/file/010208-290.jpg]. Каждой орбите общего положения соответствует неприводимое представление [img: http://localhost:8080/file/010208-291.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010208-292.jpg], определяемое формулой вида [img: http://localhost:8080/file/010208-293.jpg] в гильбертовом пространстве, [img: http://localhost:8080/file/010208-294.jpg]. Инфинитезимальные операторы этого представления совпадают с операторами [img: http://localhost:8080/file/010208-295.jpg] - единичный оператор в пространстве E. Указанный результат равносилен теореме Стоуна - Неймана о самосопряженных операторах [img: http://localhost:8080/file/010208-296.jpg] с коммутационным соотношением [img: http://localhost:8080/file/010208-297.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010208-298.jpg] Каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010208-299.jpg] соответствует одномерное представление (характер) [img: http://localhost:8080/file/010208-300.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/010208-301.jpg] в этом случае описывается аналогично, с выходом в комплексную область по параметрам [img: http://localhost:8080/file/010208-302.jpg]. Указанный метод орбит естественно обобщается на разрешимые связные группы Ли и даже на произвольные группы Ли, причем в обще'м случае приходится рассматривать орбиты в [img: http://localhost:8080/file/010208-303.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010208-304.jpg] - комплексификация [img: http://localhost:8080/file/010208-305.jpg], удовлетворяющие Век-рым условиям целочисленности [8]. Исследование общего случая сводится в известной степени к двум рассмотренным случаям посредством теории индуцированных представлений [5], позволяющей описывать неприводимые унитарные представления полупрямого произведения [img: http://localhost:8080/file/010208-306.jpg] с нормальным делителем [img: http://localhost:8080/file/010208-307.jpg] в терминах неприводимых представлений [img: http://localhost:8080/file/010208-308.jpg] и нек-рых подгрупп группы [img: http://localhost:8080/file/010208-309.jpg] (в силу теоремы Леви - Мальцева). Практически этот метод эффективен лишь в том случае, когда радикал коммутативен. Другим методом научения [img: http://localhost:8080/file/010208-310.jpg] является описание характеров неприводимых унитарных представлений группы G;множество таких характеров находится в естественном взаимно однозначном соответствии с, [img: http://localhost:8080/file/010208-311.jpg]. Справедливость общей формулы для характеров, предложенной А. А. Кирилловым [8], проверена (к 1977) лишь для отдельных классов групп Ли. Гармонический анализ функций на G. Для компактной группы Ли гармонич. анализ сводится к разложению функций [img: http://localhost:8080/file/010208-312.jpg] в обобщенные ряды Фурье по матричным элементам группы G (теорема Петера - Вейля для [img: http://localhost:8080/file/010208-313.jpg] и ее аналоги для других классов функций). Для некомпактных групп Ли основы гармонич. анализа были заложены в [1] введением обобщенного преобразования Фурье [img: http://localhost:8080/file/010208-314.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010208-315.jpg] - оператор элементарного представления [img: http://localhost:8080/file/010208-316.jpg] - мера Хаара на G, и формулой обращения (аналог Планшереля формулы).для [img: http://localhost:8080/file/010208-317.jpg], в случае классических матричных групп над полем G. Этот результат был обобщен на локально компактные унимодулярные группы (абстрактная Планшереля теорема). Преобразование Фурье переводит свертку функций на группе в умножение их (операторных) образов Фурье [img: http://localhost:8080/file/010208-318.jpg] и потому является важнейшим инструментом изучения групповых алгебр. Если [img: http://localhost:8080/file/010208-319.jpg] - полуиростая группа Ли, то операторы [img: http://localhost:8080/file/010208-320.jpg] удовлетворяют структурным соотношениям вида [img: http://localhost:8080/file/010208-321.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010209-1.jpg] - сплетающие операторы, [img: http://localhost:8080/file/010209-2.jpg] - группа Вейля симметрического пространства [img: http://localhost:8080/file/010209-3.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010209-4.jpg] - максимальная компактная подгруппа в [img: http://localhost:8080/file/010209-5.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/010209-6.jpg] - группа Вейля алгебры [img: http://localhost:8080/file/010209-7.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010209-8.jpg] - комплексификация алгебры Ли группы [img: http://localhost:8080/file/010209-9.jpg]). Если функции [img: http://localhost:8080/file/010209-10.jpg] финитны, то операторные функции [img: http://localhost:8080/file/010209-11.jpg] являются целыми функциями комплексных параметров [img: http://localhost:8080/file/010209-12.jpg]. Для групповых алгебр [img: http://localhost:8080/file/010209-13.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010209-14.jpg] - полупростая связная комплексная группа Ли, известны аналоги классических Пэли - Винера теорем[7], т. е. дано описание образов этих алгебр относительно преобразования Фурье. Эти результаты позволяют изучить структуру групповой алгебры, ее идеалов и представлений; в частности, они используются при классификации неприводимых представлений группы [img: http://localhost:8080/file/010209-15.jpg]. Аналоги теорем Пэли-Винера известны также для нек-рых нильпотентных (метабеле-вых) групп Ли и для групп движений евклидова пространства. Проблемы спектрального анализа. Для унитарных представлений групп Ли известна общая процедура разложения представления в прямой интеграл неприводимых представлений. [5]. Проблема состоит в отыскании аналитич. методов, осуществляющих это разложение для конкретных классов групп и их представлений, а также в установлении критериев однозначности такого разложения. Для нильпотентных групп Ли известен способ сужения неприводимого представления [img: http://localhost:8080/file/010209-16.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010209-17.jpg] на подгруппу [img: http://localhost:8080/file/010209-18.jpg] (см. Орбит метод). Для неунитарных представлений сама постановка задачи требует уточнения, поскольку в классе таких представлений отсутствует свойство полной приводимости. В ряде случаев рассмотрение группы [img: http://localhost:8080/file/010209-19.jpg] заменяется рассмотрением одной из ее групповых алгебр [img: http://localhost:8080/file/010209-20.jpg], н задача спектрального анализа трактуется как задача изучения двусторонних идеалов алгебры [img: http://localhost:8080/file/010209-21.jpg]. Задача спектрального анализа (и спектрального синтеза).тесно связана также с задачей аппроксимации функций на группе [img: http://localhost:8080/file/010209-22.jpg] или однородном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010209-23.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010209-24.jpg] - подгруппа) линейными комбинациями матричных элементов группы [img: http://localhost:8080/file/010209-25.jpg]. Приложения к математической физике. Связь теории представлений групп Ли со специальными функциями математич. физики была отмечена еще О. Картаном. В дальнейшем было установлено, что основные клас.. Принципиальная роль теории групп Ли в математич. физике, в частности в квантовой механике и квантовой теории поля, объясняется наличием групповой симметрии (хотя бы аппроксимативной) в основных уравнениях этой теории. Классич. примерами такой симметрии являются принцип относительности Эйнштейна (относительно группы Лоренца), связь таблицы Менделеева с представлениями группы вращений, теория изотопич. спина, унитарная симметрия элементарных частиц и т. д. Связь с теоретич. физикой оказала стимулирующее влияние на развитие общей теории представлений групп Ли.