Бесселя функции

- цилиндрические функции1-го рода. Б. ф..индекса рможет быть определена рядом [img: http://localhost:8080/file/010210-31.jpg] сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса рявляется решением соответствующего Бесселя уравнения. [img: http://localhost:8080/file/010210-32.jpg] При действительных положительных значениях аргумента и индекса ([img: http://localhost:8080/file/010210-33.jpg] - действительное число) Б. ф. действительна, график ее имеет вид затухающего колебания (см. рис.); при четном индексе Б. ф. четна, при нечетном - нечетна. Поведение Б. ф. в окрестности нуля дается первыми слагаемыми ряда (*); при больших хсправедливо асимптотич. представление [img: http://localhost:8080/file/010210-34.jpg] Нули Б. ф. [корни уравнения [img: http://localhost:8080/file/010210-35.jpg] ] - простые, при этом нули [img: http://localhost:8080/file/010210-36.jpg] лежат между нулями [img: http://localhost:8080/file/010210-37.jpg]. Б. ф. "полуцелого" порядка [img: http://localhost:8080/file/010210-38.jpg] выражаются через тригонометрич. функции; в частности, [img: http://localhost:8080/file/010210-39.jpg] Б. ф. [img: http://localhost:8080/file/010210-40.jpg] - положительные нули [img: http://localhost:8080/file/010210-41.jpg] образуют ортогональную с весом хв промежутке [img: http://localhost:8080/file/010210-42.jpg] систему. При определенных условиях имеет место разложение [img: http://localhost:8080/file/010210-43.jpg] В бесконечном промежутке его заменяет интеграл Фурье-Бесселя [img: http://localhost:8080/file/010210-44.jpg] Важную роль в теории Б. ф. и их применений играют: 1) интегральное представление [img: http://localhost:8080/file/010210-45.jpg] 2) производящая функция [img: http://localhost:8080/file/010210-46.jpg] 3) теорема сложения для Б. ф. нулевого индекса [img: http://localhost:8080/file/010210-47.jpg] 4) рекуррентные формулы [img: http://localhost:8080/file/010210-48.jpg] Лит. ем. при статье Цилиндрические функции. П. И. Лизоркин. BETA-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - непрерывное сосредоточенное на (0, 1) распределение вероятностей с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010210-49.jpg] где параметры [img: http://localhost:8080/file/010210-50.jpg] неотрицательны и нормирующий множитель [img: http://localhost:8080/file/010210-51.jpg] есть бета-функция Эйлера [img: http://localhost:8080/file/010210-52.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010210-53.jpg] - гамма-функция). Функция распределения выражается через неполную бета-функцию [img: http://localhost:8080/file/010210-54.jpg] (эта функция табулирована, см. [1], [2]). Моменты Б.-р. выражаются формулой [img: http://localhost:8080/file/010210-55.jpg] в частности, математич. ожидание и дисперсия равны [img: http://localhost:8080/file/010210-56.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010210-57.jpg] соответственно. Если [img: http://localhost:8080/file/010210-58.jpg] то кривая плотности [img: http://localhost:8080/file/010210-59.jpg] имеет единственную точку максимума [img: http://localhost:8080/file/010210-60.jpg] и обращается в нуль на концах интервала. Если [img: http://localhost:8080/file/010210-61.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010210-62.jpg], то одна из крайних ординат графика бесконечна, а если и [img: http://localhost:8080/file/010210-63.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/010210-64.jpg], то обе ординаты на концах интервала бесконечны и кривая имеет [img: http://localhost:8080/file/010210-65.jpg] -образную форму. При [img: http://localhost:8080/file/010210-66.jpg] Б.-р. превращается в равномерное распределение в интервале [img: http://localhost:8080/file/010210-67.jpg]. Другим частным случаем Б.-р. является так наз. арксинуса распределение [img: http://localhost:8080/file/010210-68.jpg] При замене в (1) [img: http://localhost:8080/file/010210-69.jpg] получается распределение с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010210-70.jpg] Это распределение наз. Б.-р. второго рода, в отличие от Б.-р. (1). Распределения (1) и (2) соответствуют распределениям "типа I" и "типа VI" в системе Пирсона кривых. Один из важных случаев возникновения Б.-р. таков: если [img: http://localhost:8080/file/010210-71.jpg] независимы и имеют гамма-распределения с параметрами тип соответственно, то случайная величина [img: http://localhost:8080/file/010210-72.jpg] имеет Б.-р. с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010210-73.jpg]. Этот факт в большой степени объясняет ту роль, к-рую Б.-р. играет в приложениях, в частности в математич. статистике: распределения многих важнейших статистик сводятся к Б.-р. Напр., функция распределения F-отношения [img: http://localhost:8080/file/010210-74.jpg] (случайная величина [img: http://localhost:8080/file/010210-75.jpg] имеет [img: http://localhost:8080/file/010210-76.jpg] -распределение с kстепенями свободы) выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/010210-77.jpg] (обычно значения F-распределения вычисляются с помощью таблиц Б.-р.). Функция Б.-р. позволяет также вычислять значения функций биномиального распределения, ввиду соотношения [img: http://localhost:8080/file/010210-78.jpg] Б.-р. находит применение не только в математич. статистике, так, напр., плотность Б.-р. является весовой функцией для системы ортогональных Якоби многочленов.