Бибербаха гипотеза

- предположение, высказанное в 1916 Л. Бибербахом [1]: для всех функций [img: http://localhost:8080/file/010210-113.jpg] классa S, т. е. для функций [img: http://localhost:8080/file/010210-114.jpg], регулярных и однолистных в круге [img: http://localhost:8080/file/010210-115.jpg] и имеющих в нем разложение [img: http://localhost:8080/file/010210-116.jpg] справедлива оценка [img: http://localhost:8080/file/010210-117.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010210-118.jpg] только для функций Кёбе [img: http://localhost:8080/file/010210-119.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010210-120.jpg] - действительное число. Л. Бибербах доказал справедливость гипотезы только для [img: http://localhost:8080/file/010210-121.jpg]. Задача нахождения точной оценки коэффициентов в классе S - частный случай коэффициентов проблемы. Б. г. простой формулировкой и глубиной привлекла внимание многих математиков и способствовала развитию различных методов геометрич. теории функций комплексного переменного. К настоящему времени (1977) справедливость Б. г. установлена для [img: http://localhost:8080/file/010210-122.jpg] Для n=3 она была впервые доказана К. Лёвнером ([img: http://localhost:8080/file/010210-123.jpg]) в 1923 параметрич. методом (см. Параметрических представлений метод);в дальнейшем появились и другие доказательства оценки [img: http://localhost:8080/file/010210-124.jpg], при к-рых использовались вариационный метод, параметрич. метод, метод экстремальных метрик. Для [img: http://localhost:8080/file/010210-125.jpg] справедливость Б. г. была установлена впервые в 1955 посредством одновременного использования вариационного и. параметрич. методов. В 1960 с помощью условий однолистности Грунского оценка [img: http://localhost:8080/file/010210-126.jpg] была получена значительно проще. Эта оценка была получена также методом вариаций и геометрич. рассуждениями; в другом случае - с использованием неравенств Грунского в матричной форме. Для [img: http://localhost:8080/file/010210-127.jpg] справедливость Б. г. доказана в 1968 с помощью неравенств Грунского, для [img: http://localhost:8080/file/010210-128.jpg] - в 1972 вариационным методом. Среди других результатов, направленных на доказательства справедливости Б. г., интересны следующие. У. Хейман [4] получил ряд результатов по асимптотич. поведению коэффициентов при [img: http://localhost:8080/file/010210-129.jpg] функций, p-листных в среднем в [img: http://localhost:8080/file/010210-130.jpg], в частности для класса S. Он доказал, что существует предел [img: http://localhost:8080/file/010210-131.jpg] и что [img: http://localhost:8080/file/010210-132.jpg] со знаком равенства только для функций Кёбе. Ряд работ посвящен локальной гипотезе Бибербаха, т. е. доказательству того, что функция Кебе дает [img: http://localhost:8080/file/010210-133.jpg], по крайней мере для тех функций класса [img: http://localhost:8080/file/010210-134.jpg], к-рые близки к ней в соответствующей топологии (см. Однолистная функция). Установлено, что для каждого [img: http://localhost:8080/file/010210-135.jpg] существует достаточно малое [img: http://localhost:8080/file/010210-136.jpg] такое, что для функции [img: http://localhost:8080/file/010210-137.jpg], удовлетворяющей условию [img: http://localhost:8080/file/010210-138.jpg] справедлива оценка [img: http://localhost:8080/file/010210-139.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010210-140.jpg] только для [img: http://localhost:8080/file/010210-141.jpg]. Оценка коэффициентов для всех [img: http://localhost:8080/file/010210-142.jpg], точная относительно порядка зависимости от [img: http://localhost:8080/file/010210-143.jpg], была впервые получена в 1925 Дж. Литлвудом (J. Littlewood) сведением оценки коэффициентов к оценке среднеинтегрального модуля. Более точные оценки были получены И. Е. Базилевичем [img: http://localhost:8080/file/010210-144.jpg], И. М. Милиным [img: http://localhost:8080/file/010210-145.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010210-146.jpg] Лучшая к настоящему времени (1977) оценка получена в 1972 (см. [7]): [img: http://localhost:8080/file/010210-147.jpg] Обзор работ по Б. г. см. в [2], с. 50, 187-90, 571-79, [3], с. 67-121; [9].