Бивекторное пространство

центроаффинное пространство [img: http://localhost:8080/file/010210-232.jpg] к-рое может быть отнесено каждой точке пространства аффинной связности [img: http://localhost:8080/file/010210-233.jpg] (в частности, риманова пространства [img: http://localhost:8080/file/010210-234.jpg]). Пусть в точке пространства [img: http://localhost:8080/file/010210-235.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/010210-236.jpg]) рассматриваются все тензоры, у к-рых ковариантная и контравариантная валентности четные; ковариант-ные и контравариантные индексы разбиваются на отдельные пары, для каждой из к-рых тензор кососим-метричен. Тензоры, обладающие этими двумя свойствами, наз. битензорами. Если принять каждую кососшшетрическую пару индексов за один собирательный индекс, то число новых индексов будет равно [img: http://localhost:8080/file/010210-237.jpg] Простейшим битензором является бивектор [img: http://localhost:8080/file/010210-238.jpg] Если в точке [img: http://localhost:8080/file/010210-239.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010210-240.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010210-241.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010210-242.jpg], и совокупность бивекторов из А п (или из [img: http://localhost:8080/file/010210-243.jpg]) в данной точке определяет совокупность векторов с N компонентами, удовлетворяющими условиям [img: http://localhost:8080/file/010210-244.jpg] т. е. эта совокупность определяет центроаффинное пространство [img: http://localhost:8080/file/010210-245.jpg], наз. бивекторным пространством. В [img: http://localhost:8080/file/010210-246.jpg] Б. п. может быть метризовано при помощи метрич. тензора [img: http://localhost:8080/file/010210-247.jpg] после чего [img: http://localhost:8080/file/010210-248.jpg] становится метрич. пространством [img: http://localhost:8080/file/010210-249.jpg]. Б. строится Б. п. [img: http://localhost:8080/file/010210-251.jpg], а тензору кривизны с компонентами [img: http://localhost:8080/file/010210-252.jpg] сопоставляется тензор второй валентности с компонентами [img: http://localhost:8080/file/010210-253.jpg] соответственно. Тогда задача изучения алгебраич. структуры тензора кривизны пространства [img: http://localhost:8080/file/010210-254.jpg] может быть сведена к изучению пучка квадратичных форм [img: http://localhost:8080/file/010210-255.jpg] вторая из к-рых невырожденная [img: http://localhost:8080/file/010210-256.jpg]. Исследование элементарных делителей этой пары приводит к классификации пространств [img: http://localhost:8080/file/010210-257.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010210-258.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010210-259.jpg] и сигнатуре [img: http://localhost:8080/file/010210-260.jpg] формы [img: http://localhost:8080/file/010210-261.jpg] доказывается, что существует всего три различных типа пространств Эйнштейна. Каждому вращению в [img: http://localhost:8080/file/010210-262.jpg] может быть отнесен бивектор; значит, в [img: http://localhost:8080/file/010210-263.jpg] ему соответствует вектор, что оказывается удобным при исследовании бесконечно малых преобразований. Б. п. по существу совпадают с бипланарными пространствами[2].