Бикомпактное расширение

(би)компактификация, - расширение топологического пространства, являющееся бикомпактным пространством. Б. р. существуют у любого топологич. пространства, у любого T1 -пространства есть Б. р., являющиеся T1 -пространствами, но наибольший интерес представляют ха-усдорфовы Б. р., имеющиеся лишь у вполне регулярных пространств. Обычно под Б. р. понимают хаусдорфово Б. р., но иногда полезно рассматривать и произвольные Б. р. П. С. Александров [1] доказал, что всякое локально бикомпактное хаусдорфово пространство одной точкой можно дополнить до бикомпакта (см. Александрова бикомпактное расширение). П. С. Урысор [Я], доказав, что всякое нормальное пространство со счетной базой вкладывается в гильбертов кирпич, установил тем самым, что оно обладает Б. р. счетного веса [2]. Термин "Б. р." впервые ввел А. Н. Тихонов [3], к-рый определил класс вполне регулярных пространств и доказал, что вполне регулярные пространства и только они обладают хаусдорфовыми Б. р., при этом вполне регулярное пространство веса [img: http://localhost:8080/file/010211-111.jpg] имеет хаусдорфово Б. р. веса [img: http://localhost:8080/file/010211-112.jpg]. Два Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-113.jpg] пространства Xназ. эквивалентными [img: http://localhost:8080/file/010211-114.jpg] если существует гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010211-115.jpg] тождественный на [img: http://localhost:8080/file/010211-116.jpg]. Часто Б. р. наз. само отображение вложения: [img: http://localhost:8080/file/010211-117.jpg] При таком определении два расширения [img: http://localhost:8080/file/010211-118.jpg] будут эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010211-119.jpg] Обычно не различают эквивалентные Б.-р. и наз. Б. р. пространства Xкласс эквивалентных между собой Б. р. этого пространства. В таком случае можно говорить о множестве [img: http://localhost:8080/file/010211-120.jpg] хаусдорфовых Б., а топологии на данном множестве Yтакже образуют множество мощности [img: http://localhost:8080/file/010211-122.jpg] Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-123.jpg] следует за Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-124.jpg] если существует непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/010211-125.jpg] тождественное на X. Отношение следования превращает В(X).в частично упорядоченное множество. Э. Чех [4] и М. Стоун [5] доказали, что во множестве В(X).существует наибольший элемент [img: http://localhost:8080/file/010211-126.jpg] - Стоуна - Чеха бикомпактное расширение (или максимальное Б. р.). Задача внутреннего описания всех хаусдорфовых Б. на X, совместимой с топологией, соответствует единственное Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-128.jpg] X, к-рое индуцирует на Xисходную близость [img: http://localhost:8080/file/010211-129.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/010211-130.jpg] Максимальное Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-131.jpg] порождается следующей близостью [img: http://localhost:8080/file/010211-132.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010211-133.jpg] множества Аи Вфункционально отделимы. Б. р. Александрова [img: http://localhost:8080/file/010211-134.jpg] локально бикомпактного хаусдорфова пространства Xпорождается близостью [img: http://localhost:8080/file/010211-135.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010211-136.jpg] множества Аи Вимеют непересекающиеся замыкания, по крайней мере одно из к-рых бикомпактно. Соответствие [img: http://localhost:8080/file/010211-137.jpg] является изоморфизмом между частично упорядоченным множеством близостей на X, совместимых о топологией, и множеством В (Х). При этом соответствие [img: http://localhost:8080/file/010211-138.jpg] продолжается до функтора из категории пространств близости, совместимых с топологическими, и близостно непрерывных отображений в категорию бикомпактов и непрерывных отображений. Значительная часть теории Б. р. посвящена методам построения Б. существует такое семейство функций [img: http://localhost:8080/file/010211-140.jpg] ~ мощности [img: http://localhost:8080/file/010211-141.jpg], что их диагональное произведение осуществляет вложение пространства [img: http://localhost:8080/file/010211-142.jpg] (см. Тихоновский куб), после чего Б. р. в Xвеса т получается как замыкание [img: http://localhost:8080/file/010211-143.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010211-144.jpg]. Э. Чех посредством диагонального произведения всех непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/010211-145.jpg] построил максимальное Б. Одним из основных методов в теории Б. Г. Уолмен [9] построил максимальное Б. максимальных центрированных систем замкнутых множеств [img: http://localhost:8080/file/010211-147.jpg] -пространства Xявляется его бикомпактным [img: http://localhost:8080/file/010211-148.jpg] -расширением и наз. Уолмена бикомпактным расширением. Это расширение, как и расширение Стоуна - Чеха, выделяется среди прочих сходством комбинаторного строения с расширяемым пространством, максимальностью (в определенном смысле), возможностью продолжения непрерывных отображений. Метод центрированных систем замкнутых множеств позволяет дать обобщение расширения Уолмена. Пусть во вполне регулярном пространстве X дана база замкнутых множеств [img: http://localhost:8080/file/010211-149.jpg], являющаяся кольцом множеств, т. е. вместе с любыми двумя элементами содержащая их пересечение и объединение. База [img: http://localhost:8080/file/010211-150.jpg] наз. нормальной, если: 1) для любой точки [img: http://localhost:8080/file/010211-151.jpg] и всякого не содержащего ее элемента [img: http://localhost:8080/file/010211-152.jpg] существуют такие элементы базы [img: http://localhost:8080/file/010211-153.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010211-154.jpg] 2) для любых двух элементов [img: http://localhost:8080/file/010211-155.jpg] существуют такие элементы [img: http://localhost:8080/file/010211-156.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010211-157.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010211-158.jpg] Пространство максимальных центрированных систем нормальной базы-кольца со стандартным заданием на нем базы замкнутых множеств будет хаусдорфовым Б. р. пространства X, наз. расширением уолменовского типа; неизвестно (1977), всякое ли хаусдорфово Б. р. является расширением уолменовского типа. Другие способы построения Б. р.: метод максимальных идеалов колец непрерывных функций (см. [11]); метод пополнения предкомпактных равномерных структур (см. [12] и Пополнение равномерного пространства);метод проекционных спектров (см. [10]); при этом было доказано, что верхним пределом максимального конечного спектра любого T1 -пространства Xявляется его уолменовское расширение wХи этот предел совпадает с максимальным Б. р. bХ тогда и только тогда, когда X-квазинормальное пространство. Важность теории Б. р. объясняется фундаментальным положением бикомпактных пространств в топологии и функциональном анализе. Возможность вложить топологич. пространство в бикомпакт позволяет описать многие свойства вполне регулярных пространств посредством (как правило, более простых) свойств бикомпактов. Так, нормальные пространства с первой аксиомой счетности гомеоморфны тогда и только тогда, когда гомеоморфны их максимальные Б. р. Это позволяет в принципе свести изучение нормальных прост-, ранств с первой аксиомой счетности к изучению бикомпактов. Довольно часто топологич. инварианты расширяемого пространства удается просто выразить в терминах расположения пространства в его Б. нарост [img: http://localhost:8080/file/010211-160.jpg] был финально компактен. Пространство Xсчетного типа интересно также тем, что оно нормально прилегает к наросту всякого своего Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-161.jpg], т. е. тем, что любые два непересекающиеся замкнутые в наросте множества имеют непересекающиеся в [img: http://localhost:8080/file/010211-162.jpg] окрестности. С точки зрения расположенности в Б. обладает следующим свойством: для всякого бикомпакта [img: http://localhost:8080/file/010211-164.jpg] в наросте существует содержащий его бикомпакт F, имеющий счетный характер в [img: http://localhost:8080/file/010211-165.jpg]. Особенно важна роль Б. р. в теории размерности. Это, в частности, объясняется равенствами [img: http://localhost:8080/file/010211-166.jpg] для произвольного нормального пространства Xи равенством [img: http://localhost:8080/file/010211-167.jpg] для совершенно нормального пространства Х. Одним из первых утверждений о размерностных свойствах Б. р. явилась теорема о существовании у всякого n-мерного нормального пространства со счетной базой хаусдорфова Б. р. того же (счетного) веса и той же размерности (см. [16]). Доказано [20], что среди нормальных пространств Xсо счетной базой периферически бикомпактное пространство и только оно имеет Б. (см. Фрейденталя бикомпактное расширение). При этом среди таких Б., в частности для всякого нормального пространства Xвеса [img: http://localhost:8080/file/010211-170.jpg] существует Б. веса [img: http://localhost:8080/file/010211-172.jpg] и размерности [img: http://localhost:8080/file/010211-173.jpg] С другой стороны, вполне регулярное пространство Xпериферически бикомпактно тогда и только тогда, когда Xимеет Б. р. с нульмерно лежащим в нем наростом [8]. При этом нарост [img: http://localhost:8080/file/010211-174.jpg] нульмерно расположен в расширении [img: http://localhost:8080/file/010211-175.jpg], если существует такая база [img: http://localhost:8080/file/010211-176.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010211-177.jpg] бикомпакта [img: http://localhost:8080/file/010211-178.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010211-179.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010211-180.jpg] Видную роль в теории Б. р. играют совершенно бикомпактные расширения (см. [15]). Всякое совершенное Б. пространства Xявляется монотонным образом максимального В. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-182.jpg] (в частности, совершенно и само [img: http://localhost:8080/file/010211-183.jpg]), как и [img: http://localhost:8080/file/010211-184.jpg], близко к Xпо комбинаторному строению но, в отличие от [img: http://localhost:8080/file/010211-185.jpg], не всегда [img: http://localhost:8080/file/010211-186.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010211-187.jpg] даже для метрич. пространства X. В то время, как [img: http://localhost:8080/file/010211-188.jpg] есть наибольшее совершенное Б. Понятие совершенного Б. р. оказывается полезным при изучении размерности нароста. Если метрич. пространство Xсо счетной базой вкладывается в компакт [img: http://localhost:8080/file/010211-189.jpg] с наростом [img: http://localhost:8080/file/010211-190.jpg] размерности [img: http://localhost:8080/file/010211-191.jpg],то в [img: http://localhost:8080/file/010211-192.jpg] существует такая (открытая) база, что пересечение границ любых ее [img: http://localhost:8080/file/010211-193.jpg] элементов компактно [15]. Это условие не является достаточным для существования у пространства XБ.. Более того, если [img: http://localhost:8080/file/010211-195.jpg] совершенное Б., [img: http://localhost:8080/file/010211-197.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010211-198.jpg] для всякого бикомпакта [img: http://localhost:8080/file/010211-199.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010211-200.jpg] для всякого Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-201.jpg] с пунктиформным наростом [15]. Совершенное Б. р., как и максимальное, интересно возможностью продолжения отображений. Так, в частности, если пространства [img: http://localhost:8080/file/010211-202.jpg] обладают минимальными совершенными расширениями [img: http://localhost:8080/file/010211-203.jpg], то всякое совершенное отображение [img: http://localhost:8080/file/010211-204.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010211-205.jpg] продолжается в отображение [img: http://localhost:8080/file/010211-206.jpg] Топологич. пространство [img: http://localhost:8080/file/010211-207.jpg] веса [img: http://localhost:8080/file/010211-208.jpg] индуктивно нульмерно (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010211-209.jpg]) тогда и только тогда (см. [16]), когда оно имеет индуктивно нульмерное Б., так что пространство [img: http://localhost:8080/file/010211-211.jpg] веса [img: http://localhost:8080/file/010211-212.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/010211-213.jpg] имеет Б. с [img: http://localhost:8080/file/010211-215.jpg] существует Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-216.jpg] причем это верно и для трансфинитных значений [img: http://localhost:8080/file/010211-217.jpg]. Поэтому у сильно паракомпактного метрич. пространства X существует такое Б. р. [img: http://localhost:8080/file/010211-218.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010211-219.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010211-220.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010211-221.jpg], в то же время существует такое пространство X, что [img: http://localhost:8080/file/010211-222.jpg] для всякого его Б. р. в X (см. [21]). Имеется ряд утверждений о Б. нормального S-слабо бесконечномерного пространства Xслабо бесконечномерно [16]. Дадее, любое вполне регулярное пространство X веса [img: http://localhost:8080/file/010211-224.jpg], максимальное Б. р. к-рого слабо бесконечномерно (в частности, любое нормальное S- слабо бесконечномерное пространство Xвеса [img: http://localhost:8080/file/010211-225.jpg]), обладает слабо бесконечномерным Б. р. веса [img: http://localhost:8080/file/010211-226.jpg]. В этих утверждениях s-слабую бесконечномерность нельзя заменить на А-слабую бесконечномерность (см. Слабо бесконечномерное пространство):так, все Б. р. растущей суммы кубов [img: http://localhost:8080/file/010211-227.jpg] (подмножества гильбертова кирпича [img: http://localhost:8080/file/010212-1.jpg], состоящего из точек, у к-рых лишь конечное число координат отлично от нуля) суть сильно бесконечномерные пространства [15]. Исследованы [17] вопросы, касающиеся размерности dim наростов Б. р. пространств близости и вполне регулярных пространств. Если пространство близости нормально прилегает к [img: http://localhost:8080/file/010212-2.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010212-3.jpg] (единственное) Б. р. пространства Р, то [img: http://localhost:8080/file/010212-4.jpg] равна наименьшему из тех чисел k, что в каждое продолжаемое окаймление можно вписать окаймление кратности [img: http://localhost:8080/file/010212-5.jpg] (см. Окаймление пространства в расширении). Пространство Xсчетного типа обладает Б. с наростом размерности [img: http://localhost:8080/file/010212-7.jpg] тогда и только тогда, когда в Xсуществует структура окаймлений кратности [img: http://localhost:8080/file/010212-8.jpg] обладающая базисным свойством. Кроме того, из существования у данного пространства X Б. вытекает существование Б. с наростом размерности [img: http://localhost:8080/file/010212-11.jpg]. Частично упорядоченное множество [img: http://localhost:8080/file/010212-12.jpg] всех хаусдорфовых Б. есть (полная) решетка тогда и только тогда, когда пространство Xлокально бикомпактно. Если пространства Xи У локально бикомпактны, то решетки [img: http://localhost:8080/file/010212-14.jpg] изоморфны тогда и только тогда, когда гомеоморфны наросты [img: http://localhost:8080/file/010212-15.jpg] (см. [18]). Неизвестны условия, к-рым должно удовлетворять (совершенное) отображение [img: http://localhost:8080/file/010212-16.jpg] чтобы полурешетки [img: http://localhost:8080/file/010212-17.jpg] были изоморфны. В то же время Б. р. совершенных неприводимых прообразов пространства Xописываются [img: http://localhost:8080/file/010212-18.jpg] -близостями на пространстве Xи образуют полную полурешетку относительно естественно определяемого порядка [19]. Б. р. совершенных неприводимых прообразов пространства Xсвязаны также с Я-замкнутыми расширениями пространства X.