Билинейная форма

на произведении модулей [img: http://localhost:8080/file/010212-32.jpg] - билинейное отображение [img: http://localhost:8080/file/010212-33.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-34.jpg] -левый унитарный [img: http://localhost:8080/file/010212-35.jpg] -модуль, W - правый унитарный А-модуль, А - кольцо с единицей, рассматриваемое также как (А, А)-бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен метрич. структурой с помощью f. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для Б. ф. Так, говорят о матрице Б. ф. относительно выбранных базисов в Vи W, об ортогональности элементов и подмодулей относительно Б. ф.,. об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. д. Напр., если А - поле и [img: http://localhost:8080/file/010212-36.jpg] - конечномерное векторное пространство над Ас базисом e1..., е п, то для векторов [img: http://localhost:8080/file/010212-37.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-38.jpg] значение формы [img: http://localhost:8080/file/010212-39.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010212-40.jpg]. Иногда полином [img: http://localhost:8080/file/010212-41.jpg] от переменных [img: http://localhost:8080/file/010212-42.jpg] отождествляют с f и называют билинейной формой на V. Если кольцо Акоммутативно, то Б. ф. есть частный случай полуторалинейной формы, (с тождественным антиавтоморфизмом). Пусть кольцо Акоммутативно. Б. ф. f на А- модуле Vназ. симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех [img: http://localhost:8080/file/010212-43.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/010212-44.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-45.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010212-46.jpg])и наз, знакопеременной, если [img: http://localhost:8080/file/010212-47.jpg]. Знакопеременная Б. ф. антисимметрична, обратное верно только, если для любого [img: http://localhost:8080/file/010212-48.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010212-49.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010212-50.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010212-51.jpg] имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на [img: http://localhost:8080/file/010212-52.jpg] и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрич. или антисимметрич. формы на Vсимметрично. Б. ф. [img: http://localhost:8080/file/010212-53.jpg] на Vназ. изометричной Б. ф. [img: http://localhost:8080/file/010212-54.jpg] на W, если существует такой изоморфизм А-модулей [img: http://localhost:8080/file/010212-55.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010212-56.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/010212-57.jpg]. Этот изоморфизм наз. изометрией форм, а если [img: http://localhost:8080/file/010212-58.jpg] - метрическим автоморфизмом модуля V(или автоморфизмом формы f). Метрич. автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы f), примеры таких групп - ортогональная группа, симплектич. группа. Пусть А - тело, [img: http://localhost:8080/file/010212-59.jpg] - Б. ф. на [img: http://localhost:8080/file/010212-60.jpg], пространства [img: http://localhost:8080/file/010212-61.jpg] конечномерны над А, тогда [img: http://localhost:8080/file/010212-62.jpg] и это число наз. рангом [img: http://localhost:8080/file/010212-63.jpg]. Если Vконечномерно, а [img: http://localhost:8080/file/010212-64.jpg] невырождена, то [img: http://localhost:8080/file/010212-65.jpg] и для каждого базиса [img: http://localhost:8080/file/010212-66.jpg] в Vсуществует дуальный относительно fбазис [img: http://localhost:8080/file/010212-67.jpg] в W, определяемый условиями [img: http://localhost:8080/file/010212-68.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010212-69.jpg] - символы Кронекера). Пусть, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/010212-70.jpg], тогда подмодули [img: http://localhost:8080/file/010212-71.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-72.jpg] наз. соответственно правым и левым ядрами f; для симметрич. и антисимметрия, форм правое и левое ядра совпадают и наз. просто ядром формы. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010212-73.jpg] симметрич. или антпсимметрич. Б. ф. на V. Элемент [img: http://localhost:8080/file/010212-74.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010212-75.jpg], наз. изотропным; подмодуль [img: http://localhost:8080/file/010212-76.jpg] наз. изотропным, если [img: http://localhost:8080/file/010212-77.jpg], и вполне изотропным, если [img: http://localhost:8080/file/010212-78.jpg]. Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры Б. ф. (см. Витта разложение, Витта теорема, Витта кольцо). О строении Б. ф. см. также Квадратичная форма. Пусть Акоммутативно и пусть [img: http://localhost:8080/file/010212-79.jpg] есть A-модуль всех A-линейных отображений Vв W,a [img: http://localhost:8080/file/010212-80.jpg] - A-модуль всех Б. ф. на [img: http://localhost:8080/file/010212-81.jpg]. Для всякой Б. ф. f на [img: http://localhost:8080/file/010212-82.jpg] и всякого [img: http://localhost:8080/file/010212-83.jpg] формула [img: http://localhost:8080/file/010212-84.jpg] определяет A-линейную форму на W. Соответственно, для [img: http://localhost:8080/file/010212-85.jpg] формула [img: http://localhost:8080/file/010212-86.jpg] определяет A-линейную форму на V. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010212-87.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-88.jpg] есть элемент из [img: http://localhost:8080/file/010212-89.jpg] Аналогично определяется отображение [img: http://localhost:8080/file/010212-90.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010212-91.jpg] Отображения [img: http://localhost:8080/file/010212-92.jpg] осуществляют изоморфизмы A-модулей [img: http://localhost:8080/file/010212-93.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-94.jpg] Б. ф. f наз. неособой слева (справа), если [img: http://localhost:8080/file/010212-95.jpg] - изоморфизм; если f неособая и слева и справа, то она наз. неособой, в противном случае f наз. особой. Невырожденная Б. ф. может быть особой. Для свободных модулей [img: http://localhost:8080/file/010212-96.jpg] одинаковой конечной размерности Б. ф. fна [img: http://localhost:8080/file/010212-97.jpg] является неособой тогда и только тогда, когда определитель матрицы f относительно любых базисов в [img: http://localhost:8080/file/010212-98.jpg] - обратимый элемент кольца A. Следующие изоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/010212-99.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-100.jpg] задаваемые неособой Б. ф. f, определяются формулами [img: http://localhost:8080/file/010212-101.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-102.jpg] Эндоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/010212-103.jpg] наз. сопряженными относительно f, если [img: http://localhost:8080/file/010212-104.jpg]