Билинейное отображение

билинейная функция,- отображение f произведения [img: http://localhost:8080/file/010212-105.jpg] левого унитарного A-модуля Vи правого унитарного В- модуля [img: http://localhost:8080/file/010212-106.jpg] -бимодуль Н, удовлетворяющее следующим условиям: [img: http://localhost:8080/file/010212-107.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010212-108.jpg] - произвольно выбранные элементы, [img: http://localhost:8080/file/010212-109.jpg] - кольца с единицей. Тензорное произведение [img: http://localhost:8080/file/010212-110.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/010212-111.jpg] имеет естественную структуру [img: http://localhost:8080/file/010212-112.jpg] -бимодуля. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010212-113.jpg] канонич. отображение, тогда любое Б. о. f индуцирует гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010212-114.jpg] - бимодулей [img: http://localhost:8080/file/010212-115.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010212-116.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010212-117.jpg] и коммутативно, то множество [img: http://localhost:8080/file/010212-118.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-119.jpg] всех Б. о. [img: http://localhost:8080/file/010212-120.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010212-121.jpg] -модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из A, а соответствие [img: http://localhost:8080/file/010212-122.jpg] '.устанавливает канонич. изоморфизм A-модуля [img: http://localhost:8080/file/010212-123.jpg] и A-модуля [img: http://localhost:8080/file/010212-124.jpg] всех A-линейных отображений [img: http://localhost:8080/file/010212-125.jpg] в Н. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010212-126.jpg] - свободные модули с базисами [img: http://localhost:8080/file/010212-127.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-128.jpg], соответственно. Б. о. f полностью определяется заданием [img: http://localhost:8080/file/010212-129.jpg], для всех [img: http://localhost:8080/file/010212-130.jpg] поскольку для любых конечных подмножеств [img: http://localhost:8080/file/010212-131.jpg] имеет место формула [img: http://localhost:8080/file/010212-132.jpg] И обратно, при произвольном выборе элементов [img: http://localhost:8080/file/010212-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-134.jpg] формула (*), где [img: http://localhost:8080/file/010212-135.jpg] определяет Б. о. [img: http://localhost:8080/file/010212-136.jpg] в Н. Если I и J конечны, матрица [img: http://localhost:8080/file/010212-137.jpg] называется матрицей Б. о. f относительно данных базисов. Пусть задано Б. о. [img: http://localhost:8080/file/010212-138.jpg] Элементы [img: http://localhost:8080/file/010212-139.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-140.jpg] наз. ортогональными относительно f, если [img: http://localhost:8080/file/010212-141.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-142.jpg]. Подмножества. [img: http://localhost:8080/file/010212-143.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-144.jpg] наз. ортогональными относительно f, если всякий [img: http://localhost:8080/file/010212-145.jpg] ортогонален всякому [img: http://localhost:8080/file/010212-146.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/010212-147.jpg] Если X - подмодуль в V, то - подмодуль в W, наз. ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к X. Аналогично определяется ортогональное дополнение [img: http://localhost:8080/file/010212-148.jpg] к подмодулю Y в W. Отображение f наз. вырожденным справа (соответственно слева), если [img: http://localhost:8080/file/010212-149.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010212-150.jpg]). Подмодули [img: http://localhost:8080/file/010212-151.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-152.jpg] наз. соответственно левым и правым ядром Б. о. f. Если [img: http://localhost:8080/file/010212-153.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-154.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-155.jpg], то f наз. невырожденным, ав противном случае - вырожденным. Отображение f наз. нулевым, если [img: http://localhost:8080/file/010212-156.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010212-157.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010212-158.jpg] - семейство левых A-модулей, [img: http://localhost:8080/file/010212-159.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010212-160.jpg] - семейство правых B-модулей, [img: http://localhost:8080/file/010212-161.jpg] - Б. о. [img: http://localhost:8080/file/010212-162.jpg] в Н, V - прямая сумма A-модулей [img: http://localhost:8080/file/010212-163.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010212-164.jpg] - прямая сумма В-модулей Wi. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010212-165.jpg], определяемое [img: http://localhost:8080/file/010212-166.jpg] правилом является Б. о. и наз. прямой суммой отображений [img: http://localhost:8080/file/010212-167.jpg]. Эта сумма ортогональна, т. е. подмодуль [img: http://localhost:8080/file/010212-168.jpg] ортогонален подмодулю Wj относительно f при [img: http://localhost:8080/file/010212-169.jpg]. Б. о. f невырождено тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010212-170.jpg] невырождено для всех [img: http://localhost:8080/file/010212-171.jpg]; при этом [img: http://localhost:8080/file/010212-172.jpg] В случае А=В =Н Б. о. наз. билинейной формой.