Бинарная форма

- форма от двух переменных, т. е. однородный многочлен [img: http://localhost:8080/file/010212-235.jpg] где коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/010212-236.jpg] принадлежат заданному коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца часто выбирается кольцо [img: http://localhost:8080/file/010212-237.jpg] целых рациональных чисел, кольцо целых элементов нек-рого алгебраического числового поля, поле [img: http://localhost:8080/file/010212-238.jpg] действительных чисел или поле [img: http://localhost:8080/file/010212-239.jpg] комплексных чисел. Число пназ. степенью формы. Если [img: http://localhost:8080/file/010212-240.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010212-241.jpg] наз. бинарной квадратичной формой. В теории форм можно выделить алгебраическое (теория инвариантов), арифметическое (представление чисел формами) и геометрическое (теория арифметич. минимумов форм) направления. Задачей алгебраич. теории Б. ф. (в [img: http://localhost:8080/file/010212-242.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010212-243.jpg]) является построение полной системы инвариантов таких форм при линейных преобразованиях переменных с коэффициентами из того же поля (см. Инвариантов теория, а также [2], гл. 5). В арифметической теории Б. ф. изучаются диофантовы уравнения вида [img: http://localhost:8080/file/010212-244.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010212-245.jpg] - их разрешимость и решения в кольце [img: http://localhost:8080/file/010212-246.jpg]. Важнейший результат здесь - теорема Туэ, а также ее обобщения и уточнения (см. Туэ - Зигеля - Рота теорема). О разрешимости таких уравнений в поле [img: http://localhost:8080/file/010212-247.jpg] и возможном числе решений см. [5], гл. 9-17, а также Морделла гипотеза. Теория арифметич. минимумов Б. ф. изучается в геометрии чисел. Арифметическим минимумом формы f наз. величина [img: http://localhost:8080/file/010212-248.jpg] В случае [img: http://localhost:8080/file/010212-249.jpg] доказано, что [img: http://localhost:8080/file/010212-250.jpg] Здесь D - дискриминант формы f, в данном случае равный [img: http://localhost:8080/file/010212-251.jpg] Эти оценки неулучшаемы.