Биномиальный ряд

степенной ряд вида [img: http://localhost:8080/file/010213-4.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010213-5.jpg] - целое, а [img: http://localhost:8080/file/010213-6.jpg] - произвольное фиксированное число (вообще говоря, комплексное), [img: http://localhost:8080/file/010213-7.jpg] -. комплексное переменное, [img: http://localhost:8080/file/010213-8.jpg] - биномиальные коэффициенты. Для целых [img: http://localhost:8080/file/010213-9.jpg] Б. р. сводится к конечной сумме [img: http://localhost:8080/file/010213-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010213-11.jpg] слагаемых называемой Ньютона биномом. Для остальных значений [img: http://localhost:8080/file/010213-12.jpg] Б. р. абсолютно сходится при [img: http://localhost:8080/file/010213-13.jpg] и расходится при [img: http://localhost:8080/file/010213-14.jpg].В граничных точках единичной окружности [img: http://localhost:8080/file/010213-15.jpg] Б. р. ведет себя следующим образом: 1) если [img: http://localhost:8080/file/010213-16.jpg], то он абсолютно сходится во всех точках окружности [img: http://localhost:8080/file/010213-17.jpg]; 2) если [img: http://localhost:8080/file/010213-18.jpg], то он расходится во всех точках окружности [img: http://localhost:8080/file/010213-19.jpg]; 3) если [img: http://localhost:8080/file/010213-20.jpg] то Б. р. расходится в точке [img: http://localhost:8080/file/010213-21.jpg] и условно сходится во всех остальных точках окружности [img: http://localhost:8080/file/010213-22.jpg] Во всех точках, в к-рых Б. р. сходится, он представляет главное значение функции [img: http://localhost:8080/file/010213-23.jpg], равное 1 при [img: http://localhost:8080/file/010213-24.jpg] Б. р. является частным случаем гипергеометрического ряда. Если [img: http://localhost:8080/file/010213-25.jpg] - действительные числа, причем а не есть целое неотрицательное число, то Б. р. ведет себя следующим образом: 1) если [img: http://localhost:8080/file/010213-26.jpg], то он абсолютно сходится при [img: http://localhost:8080/file/010213-27.jpg]; 2) если [img: http://localhost:8080/file/010213-28.jpg], то Б. р. абсолютно сходится при [img: http://localhost:8080/file/010213-29.jpg] и расходится при всех иных значениях х;3) если [img: http://localhost:8080/file/010213-30.jpg], то Б. р. абсолютно сходится при [img: http://localhost:8080/file/010213-31.jpg], условно сходится при [img: http://localhost:8080/file/010213-32.jpg] и расходится при [img: http://localhost:8080/file/010213-33.jpg]; при [img: http://localhost:8080/file/010213-34.jpg] Б. р. всегда расходится. Б. р. появляется впервые, по-видимому, у И. Ньютона (I. Newton) в 1664-65. Исчерпывающее исследование Б. р. было проделано Н. Абелем [1]. Оно послужило началом теории степенных рядов в комплексной области.