Биркгофа - виттатеорема

Пуанкаре- Биркгофа- Витта теорема,- теорема о представимости алгебр Ли в ассоциативных алгебрах. Пусть G - алгебра Ли над полем [img: http://localhost:8080/file/010213-115.jpg] - ее универсальная обертывающая алгебра, [img: http://localhost:8080/file/010213-116.jpg] - базис алгебры G, линейно упорядоченный нек-рым образом. Тогда всевозможные конечные произведения [img: http://localhost:8080/file/010213-117.jpg] ba r, где [img: http://localhost:8080/file/010213-118.jpg] образуют базис алгебры [img: http://localhost:8080/file/010213-119.jpg] и, таким образом, канонич. гомоморфизм: [img: http://localhost:8080/file/010213-120.jpg] является мономорфизмом. Из всякой ассоциативной алгебры Rможет быть построена алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/010213-121.jpg] заменой операции умножения в Л на операцию коммутирования [img: http://localhost:8080/file/010213-122.jpg] В.- В. т. иногда формулируют следующим образом: для всякой алгебры Ли Gнад любым полем k существует такая ассоциативная алгебра R над этим, же полем, что Gизоморфно вкладывается в L(R). Первый вариант этой теоремы был получен А. Пуанкаре [1]. Более полное доказательство позднее дано Э. Виттом [2] и Г. Биркгофом [3]. Утверждение теоремы остается верным, если k - область главных идеалов [4], в частности для колец Ли без операторов, но в общем случае - для алгебр Ли с произвольной областью операторов - утверждение теоремы не верно [5].