Бозе - эйнштейна статистика

Возе статистика,- квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с целым спином (0,1, 2,... в единицах [img: http://localhost:8080/file/010215-77.jpg]). Предложена Ш. Бозе (S. Bose) и А. Эйнштейном (A. Einstein) в 1924. Согласно этой статистике, в каждом квантовом состоянии может находиться произвольное число частиц. В. Паули (W. Pauli) доказал, что тип квантовой статистики однозначно связан со спином частиц, так как совокупности частиц с целым спиаом подчиняются Б. - Э. с., а с полуцелым спином - Ферми - Дирака статистике. Состояние системы многих частиц в квантовой механике определяется волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц может быть либо симметричной по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым спином), либо антисимметричной (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся В. -Э. с., состояния описываются симметричными волновыми функциями, что является другой, эквивалентной формулировкой Б. -Э. с. Системы из болвдного числа частиц, подчиняющихся Б. -Э. с., наз. (Системами Бозе, например газом Бозе. Для идеального квантового газа, т. е. для системы тождественных частиц с массой т без взаимодействия, находящихся в кубе объема [img: http://localhost:8080/file/010215-78.jpg] квантовые одно-частичные уровни энергии равны [img: http://localhost:8080/file/010215-79.jpg] где p - собственные значения импульса отдельной частицы: [img: http://localhost:8080/file/010215-80.jpg] - вектор с целочисленными (положительными, отрицательными или равными нулю) компонентами. Квантовое состояние идеального газа определяется заданием совокупности чисел заполнения уровней [img: http://localhost:8080/file/010215-81.jpg] где каждое p указывает число частиц в одночас-тичном состоянии [img: http://localhost:8080/file/010215-82.jpg]. Для систем Бозе [img: http://localhost:8080/file/010215-83.jpg] Для больших систем уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при [img: http://localhost:8080/file/010215-84.jpg] Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим [img: http://localhost:8080/file/010215-85.jpg] уровней в ячейке. Каждой ячейке соответствует средняя энергия [img: http://localhost:8080/file/010215-86.jpg] число [img: http://localhost:8080/file/010215-87.jpg] предполагается очень большим. Состояние системы определяется набором [img: http://localhost:8080/file/010215-88.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010215-89.jpg] есть сумма [img: http://localhost:8080/file/010215-90.jpg] по уровням ячейки. Статистический вес, т. е. число различных распределений частиц по ячейкам, равен [img: http://localhost:8080/file/010215-91.jpg] и определяет вероятность распределения частиц по ячейкам, характеризуемым числами заполнения [img: http://localhost:8080/file/010215-92.jpg]. Наиболее вероятное распределение, соответствующее заданной энергии Еи числу частиц N: [img: http://localhost:8080/file/010215-93.jpg] находится из экстремума (1) при дополнительных условиях (2). Соответствующие средние числа заполнения равны [img: http://localhost:8080/file/010215-94.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010215-95.jpg] - химич. потенциал [img: http://localhost:8080/file/010215-96.jpg] - постоянная Больцмана (универсальная постоянная [img: http://localhost:8080/file/010215-97.jpg] эрг/град), Т - абсолютная температура. Величины [img: http://localhost:8080/file/010215-98.jpg] и m находятся из условии (2). Энтропия системы определяется логарифмом статистич. веса (1) для наиболее вероятного распределения (3): [img: http://localhost:8080/file/010215-99.jpg] По энтропии и средней энергии можно найти и другие термодинамич. функции. Общий подход к Б. -Э. заполнения квантового уровня пвсей системы [img: http://localhost:8080/file/010215-101.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010215-102.jpg] - статистич. сумма, [img: http://localhost:8080/file/010215-103.jpg] - уровни энергии всей системы. Напр., для идеального газа Бозе [img: http://localhost:8080/file/010215-104.jpg] и из (5), (6) может быть получена для чисел заполнения формула (3), а для энтропии - формула (4) без использования комбинаторики. Такой подход особенно важен для неидеальных систем Бозе, когда применение Б.-Э. с. не сводится к простой комбинаторной задаче. В этом случае требования Б. -Э. пространстве симметрических волновых функций, или в пространстве чисел заполнения. Тогда статистич. сумма равна [img: http://localhost:8080/file/010215-105.jpg] где N - оператор числа частиц, и с ее помощью можно найти все термодинамич. функции системы Бозе.