Больших чисел закон

общий принцип, в силу к-рого совместное действие случайных факторов приводит при нек-рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (подмеченное сначала, по-видимому, на азартных играх) может служить первым примером действия этого принципа. На рубеже 17 и 18 вв. Я. Бернулли [1] доказал теорему, утверждающую, что в последовательности независимых испытаний, в каждом из к-рых вероятность наступления нек-рого события Аимеет одно и то же значение [img: http://localhost:8080/file/010216-58.jpg] верно соотношение: [img: http://localhost:8080/file/010216-59.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/010216-60.jpg] - число появлений события в первых писпытаниях, [img: http://localhost:8080/file/010216-61.jpg] - частота появлений. Эта Бернулли теорема была распространена С. Пуассоном [2] на случай последовательности независимых испытаний, где вероятность появления события Аможет зависеть от номера испытания. Пусть эта вероятность для k-го испытания равна [img: http://localhost:8080/file/010216-62.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-63.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/010216-64.jpg] Тогда Пуассона теорема утверждает, что [img: http://localhost:8080/file/010216-65.jpg]. при любом [img: http://localhost:8080/file/010216-66.jpg] Первое строгое доказательство этой теоремы было дано П. Л. Чебышевым (1846), метод к-рого полностью отличен от метода Пуассона и основан на нек-рых экстремальных соображениях; С. Пуассон выводил (2) из приближенной формулы для указанной вероятности, основанной на использовании закона Гаусса и в то время еще строго не обоснованной. У С. Пуассона впервые встречается и термин "закон больших чисел", к-рым он назвал свое обобщение теоремы Бернулли. Естественное дальнейшее обобщение теорем Бернулли и Пуассона вознпкает, если заметить, что случайные величины [img: http://localhost:8080/file/010216-67.jpg] можно представить в виде суммы [img: http://localhost:8080/file/010216-68.jpg] независимых случайных величин, где [img: http://localhost:8080/file/010216-69.jpg], если Апоявляется в А--м испытании, и [img: http://localhost:8080/file/010216-70.jpg] - в противном случае. При этом математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/010216-71.jpg] (совпадающее со средним арифметическим математич. ожиданий [img: http://localhost:8080/file/010216-72.jpg]) равно рдля случая Бернулли и [img: http://localhost:8080/file/010216-73.jpg] для случая Пуассона. Другими словами, в обоих случаях рассматривается отклонение среднего арифметического величин Х k от среднего арифметического их математич. ожиданий. В работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867) было установлено, что для независимых случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010216-74.jpg] соотношение [img: http://localhost:8080/file/010216-75.jpg] (при любом [img: http://localhost:8080/file/010216-76.jpg]) верно при весьма ^бщих предположениях. П. Л. Чебышев предполагал, что математич. ожидания [img: http://localhost:8080/file/010216-77.jpg] все ограничены одной и той же постоянной, хотя из его доказательства видно, что достаточно требования ограниченности дисперсий [img: http://localhost:8080/file/010216-78.jpg] или даже требования [img: http://localhost:8080/file/010216-79.jpg] Таким образом, П. Л. Чебышев показал возможность широкого обобщения теоремы Бернулли. А. А. Марков отметил возможность дальнейших обобщений и предложил применять название Б. ч. з. ко всей совокупности обобщений теоремы Бернулли [и в частности, к (3)]. Метод Чебышева основан на точном установлении общих свойств математич. ожиданий и на использовании так наз. Чебышева неравенства[для вероятности (3) оно дает оценку вида [img: http://localhost:8080/file/010216-80.jpg] эту границу можно заменить более точной, разумеется при более значительных ограничениях, см. Бернштейна неравенство]. Последующие доказательства различных форм Б. ч. з. в той или иной степени являются развитием метода Чебышева. Применяя надлежащее "урезание" случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010216-81.jpg] (замену их вспомогательными величинами [img: http://localhost:8080/file/010216-82.jpg] именно: [img: http://localhost:8080/file/010216-83.jpg], если где [img: http://localhost:8080/file/010216-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-85.jpg] - нек-рые постоянные), А. А. Марков распространил Б. ч. з. на случаи, когда дисперсии слагаемых не существуют. Напр., он показал, что (3) имеет место, если при нек-рых постоянных [img: http://localhost:8080/file/010216-86.jpg] и всех и [img: http://localhost:8080/file/010216-87.jpg] Аналогично доказывается теорема Хинчина (1929): если [img: http://localhost:8080/file/010216-88.jpg] имеют одинаковые законы распределения и [img: http://localhost:8080/file/010216-89.jpg] существует, то Б. и [img: http://localhost:8080/file/010216-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-92.jpg] (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010216-93.jpg] сходится к нулю "по вероятности"; если (4) выполняется с к.-л. [img: http://localhost:8080/file/010216-94.jpg], то оно выполняется и с [img: http://localhost:8080/file/010216-95.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-96.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010216-97.jpg] - медиана случайной величины [img: http://localhost:8080/file/010216-98.jpg]). Далее, вместо последовательности [img: http://localhost:8080/file/010216-99.jpg]... независимых случайных величин можно взять так наз. схему серий (см. Серий схема). [img: http://localhost:8080/file/010216-100.jpg] случайных величин (первый индекс - номер серии, второй - номер величины внутри серии). Случайные величины каждой отдельной серии предполагаются взаимно независимыми. Схему последовательности легко свести к схеме серий, полагая [img: http://localhost:8080/file/010216-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-102.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010216-103.jpg] Тогда общая форма вопроса о применимости Б. предельно постоянны? Ответ на этот вопрос дал А. Н. Колмогоров (1928). Допустим, не ограничивая общности, что медианы величин [img: http://localhost:8080/file/010216-105.jpg] равны нулю. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010216-106.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010216-107.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010216-108.jpg] Тогда одновременное выполнение двух условий: [img: http://localhost:8080/file/010216-109.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010216-110.jpg] необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм [img: http://localhost:8080/file/010216-111.jpg]. В качестве [img: http://localhost:8080/file/010216-112.jpg] можно взять [img: http://localhost:8080/file/010216-113.jpg]. Достаточность этих условий легко доказывается методом Чебышева. Если математич. ожидания [img: http://localhost:8080/file/010216-114.jpg] существуют, то легко указать дополнительные условия, при к-рых можно выбрать [img: http://localhost:8080/file/010216-115.jpg], что приводит к необходимым и достаточным условиям Б. эти условия сводятся, в соответствии с указанной теоремой Хинчина, к существованию математич. ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических [img: http://localhost:8080/file/010216-117.jpg] в этом случае необходимо и достаточно условие [img: http://localhost:8080/file/010216-118.jpg] Легко привести примеры, когда условие (5) не выполняется. Так, оно не выполняется, если все [img: http://localhost:8080/file/010216-119.jpg] имеют распределение Коши с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010216-120.jpg] (к-рой соответствует характеристич. функция [img: http://localhost:8080/file/010216-121.jpg]). Здесь средние арифметические [img: http://localhost:8080/file/010216-122.jpg] имеют характеристич. функцию [img: http://localhost:8080/file/010216-123.jpg], и следовательно, имеют при любом пто же самое распределение, что и отдельные слагаемые. В числе наиболее важных примеров, где Б. до тг-го возвращения в исходную точку есть сумма пнезависимых случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010216-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010216-126.jpg] - время до 1-го возвращения, [img: http://localhost:8080/file/010216-127.jpg] - время между 1-м и 2-м возвращениями и т. д. Распределение величины [img: http://localhost:8080/file/010216-128.jpg] сходится при [img: http://localhost:8080/file/010216-129.jpg] к невырожденному предельному закону с плотностью [img: http://localhost:8080/file/010216-130.jpg] и равной нулю при [img: http://localhost:8080/file/010216-131.jpg]. Таким образом, в этом случае распределение среднего арифметического величин Xi, т., размещается, грубо говоря, на отрезке длины порядка п(в то время как в случае применимости Б. ч. з. оно сосредоточивается на отрезках длины [img: http://localhost:8080/file/010216-133.jpg]). Применимость Б. и [img: http://localhost:8080/file/010216-135.jpg] при увеличении разности их номеров, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010216-136.jpg] Впервые соответствующие теоремы были доказаны А. А. Марковым для величин, связанных в цепь Маркова (1907). Именно, пусть [img: http://localhost:8080/file/010216-137.jpg] принимают конечное число значений и связаны в однородную цепь Маркова, причем все вероятности перехода за один шаг положительны. Здесь неограниченное убывание зависимости между [img: http://localhost:8080/file/010216-138.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010216-139.jpg] проявляется в том, что условное распределение [img: http://localhost:8080/file/010216-140.jpg] при фиксированном значении [img: http://localhost:8080/file/010216-141.jpg] стремится при [img: http://localhost:8080/file/010216-142.jpg] к пределу, не зависящему от выбранного значения [img: http://localhost:8080/file/010216-143.jpg] (эргодическая теорема Маркова). Как следствие этого утверждения выводится Б. ч. з.: сначала устанавливается, что при [img: http://localhost:8080/file/010216-144.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-145.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010216-146.jpg] отсюда же вытекает, что при [img: http://localhost:8080/file/010216-147.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-148.jpg] Более общий случай охватывается условиями С. Н. Бернштенна: если [img: http://localhost:8080/file/010216-149.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010216-150.jpg] - нек-рая постоянная, Л - коэффициент корреляции, [img: http://localhost:8080/file/010216-151.jpg] - функция, стремящаяся к нулю при [img: http://localhost:8080/file/010216-152.jpg], то к величинам [img: http://localhost:8080/file/010216-153.jpg] применим Б. ч. з. (3). Для стационарных в широком смысле последовательностей [img: http://localhost:8080/file/010216-154.jpg] условие на корреляцию можно несколько ослабить, заменив его условием [img: http://localhost:8080/file/010216-155.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010216-156.jpg]. Предыдущие результаты можно обобщить в различных направлениях. Во-первых, всюду выше рассматривалась сходимость "по вероятности". Рассматривают и другие типы сходимости: с вероятностью единица, в среднем квадратичном и т. п. (в действительности многие из указанных выше условий обеспечивают сходимость в среднем квадратичном, из к-рой вытекает сходимость по вероятности). Случай сходимости с вероятностью единица, ввиду его важности, выделяется особым названием "усиленного закона больших чисел" (см. Больших чисел усиленный закон).. Далее, многие теоремы перевесятся с соответствующими изменениями на случайнее векторы со значениями из евклидовых пространств любой размерности, из гильбертова пространства, из нек-рых банаховых пространств. Так, напр., если [img: http://localhost:8080/file/010216-157.jpg] - последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов со.значениями из сепарабельного банахова пространства и если [img: http://localhost:8080/file/010216-158.jpg] существует, то [img: http://localhost:8080/file/010216-159.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/010216-160.jpg] Рассматриваемый в наиболее общей форме Б. - случайный процесс, зависящий от непрерывного параметра (см., например, [10]). Наконец, вместо сумм случайных величин можно рассмотреть другие симметрические функции от них. Это было сделано А. Я. Хинчиным (1951 - 55) в связи с обоснованием нек-рых выводов статистич. механики [9]. Результат А. Я. Хинчина можно пояснить следующим частным примером. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010216-162.jpg] - координаты точки, равномерно распределенной на поверхности сферы [img: http://localhost:8080/file/010216-163.jpg] Тогда для широкого класса симметрических функций [img: http://localhost:8080/file/010216-164.jpg] имеет место Б. оказываются предельно постоянными [это близко к замечанию П. Леви (Р. [img: http://localhost:8080/file/010216-166.jpg], 1925) о том, что достаточно регулярные функции очень большого числа переменных почти постоянны в большей части области определения]. В большинстве старых руководств приводились обширные статистич. данные, иллюстрирующие Б.