Больших чисел усиленный закон

одна из форм больших чисел закона (вего общем понимании), утверждающая, что при определенных условиях с вероятностью единица происходит неограниченное сближение средних арифметических последовательности случайных величин с нек-рыми постоянными величинами. Точнее, пусть [img: http://localhost:8080/file/010216-167.jpg] - последовательность случайных величин и [img: http://localhost:8080/file/010216-168.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/010216-169.jpg] Говорят, что последовательность (1) удовлетворяет Б. [img: http://localhost:8080/file/010216-170.jpg] (при [img: http://localhost:8080/file/010216-171.jpg]) равна 1. Другая формулировка, равносильная предыдущей, такова: последовательность (1) удовлетворяет Б. вероятность одновременного выполнения всех неравенств [img: http://localhost:8080/file/010216-173.jpg] стремится к 1 при [img: http://localhost:8080/file/010216-174.jpg]. Таким образом, здесь рассматривается поведение всей последовательности сумм в целом, в то время как в обычном законе больших чисел речь идет лишь об отдельных суммах. Если последовательность (1) удовлетворяет Б., т. е. [img: http://localhost:8080/file/010216-176.jpg] (при любом [img: http://localhost:8080/file/010216-177.jpg]). Обратное может быть неверно. Напр., если случайные величины (1) независимы и принимают при [img: http://localhost:8080/file/010216-178.jpg] два значения [img: http://localhost:8080/file/010216-179.jpg] с вероятностью 1/2 каждое, то для них выполняется закон больших чисел (4) с [img: http://localhost:8080/file/010216-180.jpg] но ни при каких [img: http://localhost:8080/file/010216-181.jpg] не выполняется Б. Б. [img: http://localhost:8080/file/010216-182.jpg] последовательные знаки [img: http://localhost:8080/file/010216-183.jpg] принимают два значения 0 и 1 с вероятностью 1/2 каждое и являются независимыми случайными величинами. Сумма [img: http://localhost:8080/file/010216-184.jpg] равна числу единиц среди первых пзнаков двоичного [img: http://localhost:8080/file/010216-185.jpg] разложения, а [img: http://localhost:8080/file/010216-186.jpg] - их доле. В то же время Sn может рассматриваться как число "успехов" в схеме Бернулли с вероятностью "успеха" (появление 1), равной 1/2. Э. Борель доказал, что доля единиц [img: http://localhost:8080/file/010216-187.jpg] стремится к 1/2 для почти всех со из отрезка (0,1). Аналогично, при разложении со по основанию 10 можно назвать "успехом" появление к.-л. одной из цифр О, 1, 2,..., 9 (напр., цифры 3). При этом получается схема Бернулли с вероятностью успеха 1/10, и частота появления выбранной цифры среди первых пзнаков десятичного разложения стремится к 1/10 для почти всех to из отрезка (0,1). Э. Борель отметил также, что частота появления любой фиксированной группы rцифр стремится для почти всех [img: http://localhost:8080/file/010216-188.jpg] (см. Нормальное число). Ф. Кантелли [2] дал достаточные условия Б. [img: http://localhost:8080/file/010216-189.jpg] условию Кантелли можно придать вид [img: http://localhost:8080/file/010216-190.jpg] Доказательства Э. Бореля и Ф. Кантелли основаны на следующем соображении. Пусть для нек-рой последовательности положительных чисел [img: http://localhost:8080/file/010216-191.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-192.jpg] Тогда по Бореля - Кантелли лемме с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное.'висло событий, стоящих под знаком вероятности в (5). Поэтому с вероятностью 1 для всех достаточно больших п [img: http://localhost:8080/file/010216-193.jpg] т. е. имеет место (3). Э. Борель оценивал члены ряда (5) по теореме Муавра - Лапласа, а Ф. Кантелли -по неравенству Чебышева с четвертыми моментами. Дальнейшее расширение условий приложимости Б. (применимое и к зависимым величинам). Обозначая через [img: http://localhost:8080/file/010216-195.jpg] коэффициент корреляции между [img: http://localhost:8080/file/010216-196.jpg] и полагая [img: http://localhost:8080/file/010216-197.jpg] можно записать условие Хинчина в форме: [img: http://localhost:8080/file/010216-198.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/010216-199.jpg]. В действительности из доказательства А. Я. Хинчина вытекает значительно более сильное утверждение. В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложимости Б.). Теорема Колмогорова для случайных величин (1) с конечными дисперсиями утверждает, что из условия [img: http://localhost:8080/file/010216-201.jpg] вытекает приложимость к последовательности (1) Б. ч. у. з. с [img: http://localhost:8080/file/010216-202.jpg] В терминах дисперсий условие (6) оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел [img: http://localhost:8080/file/010216-203.jpg] с расходящимся рядом можно построить последовательность независимых [img: http://localhost:8080/file/010216-204.jpg] случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010216-205.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-206.jpg] не удовлетворяющую Б. ч. у. з. Область применения условия (6) (как, впрочем, и ряда других условий Б. ч. у. з. для независимых величин) может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010216-207.jpg] - медиана [img: http://localhost:8080/file/010216-208.jpg] Сходимость ряда [img: http://localhost:8080/file/010216-209.jpg] необходима для Б. ч. у. з. Из леммы Бореля - Кантелли вытекает, что с вероятностью 1, начиная с нек-рого номера, [img: http://localhost:8080/file/010216-210.jpg] Поэтому при изучении условий приложимости Б. ч. у. з. можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию. В доказательствах А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова вместо сходимости ряда (5) устанавливается сходимость ряда [img: http://localhost:8080/file/010216-211.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010216-212.jpg]. При этом А. Я. Хинчин привлекал, по существу, нек-рые идеи из теории рядов по ортогональным системам функций, а А. Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин. Для независимых случайных величин можно дать необходимое и достаточное условие Б. ч. у. з. Полагая [img: http://localhost:8080/file/010216-213.jpg] где сумма [img: http://localhost:8080/file/010216-214.jpg] распространена на те п, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010216-215.jpg], это условие можно записать в виде: при любом [img: http://localhost:8080/file/010216-216.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-217.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010216-218.jpg] - медиана [img: http://localhost:8080/file/010216-219.jpg] (см. [6]). Из (7) при дополнительных ограничениях можно получить условия, выраженные через характеристики отдельных слагаемых. Если, напр., [img: http://localhost:8080/file/010216-220.jpg] или если все [img: http://localhost:8080/file/010216-221.jpg] распределены по нормальному закону, то условие (7) равносильно следующему: при любом [img: http://localhost:8080/file/010216-222.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010216-223.jpg] Здесь, в силу независимости [img: http://localhost:8080/file/010216-224.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010216-225.jpg] Известны условия применимости Б. ч. у. з. к марковским цепям и процессам и стационарным процессам (см. [7]). Напр., метод Хинчина, примененный к стационарным в широком смысле последовательностям [img: http://localhost:8080/file/010216-226.jpg] с корреляционной функцией [img: http://localhost:8080/file/010216-227.jpg], приводит к следующему утверждению: если ряд [img: http://localhost:8080/file/010216-228.jpg] сходится, то [img: http://localhost:8080/file/010216-229.jpg] с вероятностью 1. Для стационарных в узком смысле процессов Б. ч. у. з. иногда толкуют, понимая под этим утверждение, что с вероятностью 1 существует предел [img: http://localhost:8080/file/010216-230.jpg] (случайная величина Y равна условному математич. ожиданию Х 0 по отношению к s-алгебре множеств, инвариантных относительно сдвига; с вероятностью 1 величина Yпостоянна и равна E Х 0 только для метрически транзитивных процессов). В указанной форме Б. ч. у. з. есть не что иное, как Биркгофа эргодическая теорема. Существуют варианты Б. ч. у. з. для случайных векторов в нормированных линейных пространствах [9]. В качестве исторически первого примера можно привести теорему Гливенко - Кантелли о сходимости эмпирической функции распределения к теоретической. Представление об отклонениях [img: http://localhost:8080/file/010216-231.jpg] от А п дает повторного логарифма закон.