Бордизм

бордантность,- термин, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах (почти во всех из них вместо Б. раньше говорили о кобордизмах; старая терминология тоже сохранилась). Простейший вариант: два гладких замкнутых п- мерных многообразия [img: http://localhost:8080/file/010217-41.jpg] бордантны (с о-ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное [img: http://localhost:8080/file/010217-42.jpg] -мерное многообразие W("пленка"), край к-рого состоит из двух многообразий [img: http://localhost:8080/file/010217-43.jpg] диффеоморфных, соответственно, [img: http://localhost:8080/file/010217-44.jpg] посредством нек-рых диффеоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/010217-45.jpg] Совокупность многообразий, бордантных друг другу, наз. классами бордизмов, а тройку [img: http://localhost:8080/file/010217-46.jpg] иногда наз. бордизмом [точнее было бы говорить о пятерке [img: http://localhost:8080/file/010217-47.jpg] ]. Множество классов Б. n-мерных многообразий образует абелеву группу [img: http://localhost:8080/file/010217-48.jpg] относительно несвязного объединения. Нулем в ней служит класс Б., состоящих из многообразий М, к-рые являются границей нек-рого многообразия W[формально говорят о тройке [img: http://localhost:8080/file/010217-49.jpg] с пустым М 0; другие названия: М - ограничивающее многообразие, М - внутренне гомологично, или бордантно нулю]. Элементом [img: http://localhost:8080/file/010217-50.jpg] обратным данному классу В., является сам этот класс (т. к. [img: http://localhost:8080/file/010217-51.jpg] диффеоморфно границе прямого произведения [img: http://localhost:8080/file/010217-52.jpg]). Прямая сумма [img: http://localhost:8080/file/010217-53.jpg] групп [img: http://localhost:8080/file/010217-54.jpg] является коммутативным градуированным кольцом, умножение в к-ром индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом Б. точки. Более сложные варианты - Б. гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Напр., два ориентированных многообразия М 0 и Мориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причем "пленка" Wориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией Wна Na и N(как на частях края), переходит при диффеоморфизмах g0 и g, соответственно, в исходную ориентацию М и в ориентацию, противоположную исходной ориентации М 0. В этом случае говорят об ориентированных бордизм ах, а если надо подчеркнуть отличие от них Б. в предыдущем смысле, последние наз. неориентированными. Аналогично [img: http://localhost:8080/file/010217-55.jpg] вводятся группы ориентированных Б. Wn и кольцо W* = еWn. Исторически первый пример - Б. оснащенных многообразий, введенный в 1938 Л. С. Понтрягииым, к-рый показал, что классификация этих Б. эквивалентна вычислению гомотопич. групп сфер [img: http://localhost:8080/file/010217-56.jpg] и таким путем смог найти [img: http://localhost:8080/file/010217-57.jpg] (подробное изложение его исследований см. в более поздней публикации [2], элементарное введение - в [4]). Неориентированные и ориентированные Б. были введены в 1951 - 53 В. А. Рохлиным (см. [3]), вычислившим [img: http://localhost:8080/file/010217-58.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010217-59.jpg].для [img: http://localhost:8080/file/010217-60.jpg] Ранее Л. С. Понтрягин [1] доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристич. числа (числа Штифеля - Уитни в неориентируемом случае, числа Штифеля - Уитни и числа Понтрягина - в ориентируемом). (Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.) Использование в теории Б. современных методов алгебраич. топологии началось с вышедшей в 1954 работы Р. Тома (см. [5], [6]), переоткрывшего применительно к неориентированным и ориентированным Б. связь между Б. и нек-рыми гомотопич. задачами. Так, группа [img: http://localhost:8080/file/010217-61.jpg] изоморфна группе [img: http://localhost:8080/file/010217-62.jpg] с достаточно большим r; здесь [img: http://localhost:8080/file/010217-63.jpg] - Тома пространство универсального векторного расслоения со структурной группой [img: http://localhost:8080/file/010217-64.jpg]. Эта связь позволила Р. Тому полностью вычислить кольцо [img: http://localhost:8080/file/010217-65.jpg] и существенно продвинуть изучение [img: http://localhost:8080/file/010217-66.jpg], впоследствии завершенное другими учеными. Напр., [img: http://localhost:8080/file/010217-67.jpg] оказалось кольцом многочленов над полем вычетов mod 2 от образующих [img: http://localhost:8080/file/010217-68.jpg] размерности [img: http://localhost:8080/file/010217-69.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010217-70.jpg] пробегает все положительные числа, не равные [img: http://localhost:8080/file/010217-71.jpg]; известна геометрич. реализация этих образующих (т. е. указаны конкретные многообразия, классы Б. к-рых суть [img: http://localhost:8080/file/010217-72.jpg] (см. [7]). Другие варианты Б. многообразия с дополнительной структурой - очень важные Б. квазикомплексных многообразий (наз. также унитарными Б.) (см. [8], [9]), Б. многообразий, на к-рых действует группа преобразований (см. [10]); имеются также варианты несколько иного рода (для кусочно линейных или топо-логич. многообразий, для комплексов Пуанкаре) и т. д. (см. [11]). Особое положение занимают бордизмы слоений и [img: http://localhost:8080/file/010217-73.jpg] -бордизмы (ранее наз. [img: http://localhost:8080/file/010217-74.jpg] -эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и, гомотопич. топологии [12]. Дальнейшее развитие теории Б. связано с группами бордизмов топологич. пространства X(короче, Б. пространства X, см. [13]). Они определяются для различных вариантов Б. (ниже приводится простейший случай). Сингулярным n-мерным (под) многообразием пространства Xназ. пара [img: http://localhost:8080/file/010217-75.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010217-76.jpg] - замкнутое гладкое многообразие, [img: http://localhost:8080/file/010217-77.jpg] - непрерывное отображение. Две такие пары (М 0, f0), (М п, f) бордантны, если [img: http://localhost:8080/file/010217-78.jpg] бордантны в обычном смысле и (в прежних обозначениях) существует такое непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/010217-79.jpg] (Если отождествить [img: http://localhost:8080/file/010217-80.jpg] то можно просто сказать, что отображение h индуцирует заданные отображения М 0 и Мв Х). Классы Б. сингулярных многообразий пространства X образуют n-мерную группу Б. [img: http://localhost:8080/file/010217-81.jpg] (X).этого пространства (групповая операция порождена объединением многообразий). Если X- многообразие размерности [img: http://localhost:8080/file/010217-82.jpg], то элементы [img: http://localhost:8080/file/010217-83.jpg] наглядно представляются подмногообразиями, как и соответствующие "пленки", в этом отношении Б. пространства Xблизки к первоначальным попыткам введения гомологии. Если X- точка, то [img: http://localhost:8080/file/010217-84.jpg] сводится к прежнему [img: http://localhost:8080/file/010217-85.jpg] Отображению j: XЮ Y соответствуют гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/010217-86.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010217-87.jpg] порожденные переходом от сингулярных многообразий (М, f) к (M, jf). Функтор, сопоставляющий каждому пространству Xгруппы [img: http://localhost:8080/file/010217-88.jpg] и отображению [img: http://localhost:8080/file/010217-89.jpg] - отображения [img: http://localhost:8080/file/010217-90.jpg], является обобщенной теорией гомологии. В данном случае она сводится к обычным гомологиям, а именно, для любого клеточного полиэдра X [img: http://localhost:8080/file/010217-91.jpg] (справа стоит тензорное произведение градуированных модулей над [img: http://localhost:8080/file/010217-92.jpg]), но для других Б. (ориентированных и т. д.) это, вообще говоря, не так. Многие обобщенные теории гомологии могут быть получены посредством так наз. Б. с особенностями (см.[14]). Наряду с Б. пространства Xсуществуют двойственные им обобщенные когомологии,. Введение этих функторов обобщенных гомологии и когомологии сделало желательным то изменение терминологии, о к-ром говорилось в начале статьи: термин "кобордизм" резервируется для обобщенных когомологии, двойственных Б.