Борелевская функция

В- функция,- функция, для к-рой все подмножества вида [img: http://localhost:8080/file/010217-106.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010217-107.jpg]) из области ее определения являются борелевскими множествами. Другие назв. Б. ф.: функции, измеримые по Борелю, В- измеримые функции. Операции сложения, умножения и предельного перехода, как и в общем случае измеримых функций, не выводят из класса Б. ф., но из класса Б. ф., в отличие от общего случая, не выводит и взятие суперпозиции двух Б. ф. Более того (см. [1]), если [img: http://localhost:8080/file/010217-108.jpg] - измеримая функция на любом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010217-109.jpg], a gесть Б. ф. на пространстве действительных чисел, то функция [img: http://localhost:8080/file/010217-110.jpg] измерима на пространстве [img: http://localhost:8080/file/010217-111.jpg] Всякая Б. ф. измерима по Лебегу (см. Измеримая функция). Обратное неверно. Однако для любой измеримой по Лебегу функции f найдется такая Б. ф. g, что [img: http://localhost:8080/file/010217-112.jpg] почти всюду (см. [1]). Б. ф. наз. также иногда бэровскими функциями, ибо множество всех Б. ф. совпадает с множеством функций, принадлежащих Бэра классам (теорема Лебега, см. [2]). Б. ф. могут быть классифицированы по порядкам боре-левских множеств [img: http://localhost:8080/file/010217-113.jpg]; полученные классы будут соответствовать классам Бэра. Понятие Б. ф. обобщается на функции со значениями в любом метрич. пространстве (см. [3]). В этом случае говорят также о B-измеримых отображениях. Б. ф., помимо теории множеств и теории функций, находят применение в теории вероятностей (см. [1], [4]).