Бочечное пространство

локально выпуклое линейное топология, пространство, обладающее рядом свойств банаховых пространств и Фреше пространств без предположения о метризуемости; это один из наиболее широких классов пространств, в к-рых справедлива Банаха - Штейнхауза теорема. Б. п. были впервые введены Н. Бурбаки (см. [1]). Множество Авекторного пространства Еназ. уравновешенным множеством, если [img: http://localhost:8080/file/010218-96.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010218-97.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010218-98.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/010218-99.jpg] наз. поглощающим множеством, если оно поглощает каждую точку из Е, т. е. если для каждого [img: http://localhost:8080/file/010218-100.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/010218-101.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010218-102.jpg]. Бочкой в линейном топологич. пространстве наз. замкнутое, уравновешенное поглощающее выпуклое множество. Бочечным пространством наз. линейное топологич. пространство, наделенное локально выпуклой топологией, в к-рой всякая бочка является окрестностью нуля. Пространства Фреше и, в частности, банаховы пространства служат примерами Б. Свойства Б. п. Фактор пространство, прямая сумма и индуктивный предел Б. п. являются Б. п. Всякое поточечно ограниченное множество линейных непрерывных изображений Б. п.-в локально выпуклое линейное топологич. пространство равностепенно непрерывно. В пространстве, сопряженном к Б. п., ограниченное множество в слабой топологии будет ограниченным в сильной топологии и компактным в слабой топологии. Замкнутая выпуклая оболочка компактного множества, лежащего в пространстве, сопряженном к Б. п., компактна.