Брауэра - севери многообразие

алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. замыканием [img: http://localhost:8080/file/010218-156.jpg] поля [img: http://localhost:8080/file/010218-157.jpg], изоморфно проективному пространству. Арифметич. свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл связь Б. -С. М. с центральными простыми алгебрами над полем kи c Брауэра группой. Простейшим нетривиальным примером одномерного Б.- С. м. является проективная коника Q: [img: http://localhost:8080/file/010218-158.jpg] на действительной проективной плоскости [img: http://localhost:8080/file/010218-159.jpg]. Над полем комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/010218-160.jpg] это многообразие изоморфно проективной прямой [img: http://localhost:8080/file/010218-161.jpg]. Множество всех одномерных Б.- С. м. (рассматриваемых с точностью до изоморфизма) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством проективных невырожденных коник (рассматриваемых с точностью до проективной эквивалентности над k), к-рое, в свою очередь, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством (неизоморфных) алгебр обобщенных кватернионов над k. В приведенном выше примере конике [img: http://localhost:8080/file/010218-162.jpg] соответствует алгебра обычных кватернионов. В многомерном случае множество классов и-мерных Б. -С. м. (т. е. множество Б. -С. м., различаемых с точностью до k-изоморфизма) может быть отождествлено с множеством Галуа когомологий [img: http://localhost:8080/file/010218-163.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010218-164.jpg] - проективная группа автоморфизмов проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/010218-165.jpg] (см. [3], [4]). Этим же множеством когомологий описываются классы k-изоморфных центральных простых й-алгебр ранга [img: http://localhost:8080/file/010218-166.jpg] (т. е. форм матричной алгебры [img: http://localhost:8080/file/010218-167.jpg]). Более явно связь Б.- С. м. с центральными простыми алгебрами устанавливается следующим образом, k-алгебре Аранга [img: http://localhost:8080/file/010218-168.jpg] сопоставляется многообразие Xее левых, идеалов ранга г, к-рое задается как замкнутое подмногообразие в Грассмана многообразии всех k-линейных подпространств размерности rв А. В нек-рых случаях многообразие Xможно задать с помощью норменных уравнений, как, например, в случае алгебр кватернионов. Взаимосвязь Б.- С. м. и алгебр существенно используется при изучении как тех, так и других (см. [1], [4]). Наиболее существенными свойствами В.- С. м. являются следующие. Б. -С. м. Xтогда и только тогда k-изоморфно проективному пространству Р nk, когда оно имеет точку в поле k. Любое Б.- С. м. имеет точку в нек-ром конечном сепарабельном расширении Кполя k(см. [1]). Для Б.- С. м., определенных над полем алгебраич. чисел, справедлив Хассе принцип. Поле рациональных функций k(X).на В. -С. м. Xявляется полем разложения соответствующей алгебры А;более того, произвольное расширение Кполя kтогда и только тогда является полем разложения для А, когда Xимеет К- точку (см. [4]). В связи с обобщением на схемы понятий центральной простой алгебры и группы Брауэра было введено понятие схем Брауэра - Севери, обобщающее понятие Б.- С. м. (см. [2]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010218-169.jpg] - морфизм схем. Схема Рваз. схемой Брауэра - Севери, если локально, в этальной топологии схемы X, схема Ризоморфна проективному пространству [img: http://localhost:8080/file/010218-170.jpg] над X. Схема Рнад схемой Xтогда и только тогда является схемой Брауэра - Севери, когда [img: http://localhost:8080/file/010218-171.jpg] - конечно представленный собственный плоский морфизм и все геометрич. слои его изоморфны проективным пространствам [2].