Булевозначная модель

модель, определяемая следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010219-71.jpg] - сигнатура нек-poro языка [img: http://localhost:8080/file/010219-72.jpg] 1-й ступени с одним сортом переменных, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010219-73.jpg] - множество символов функций и предикатов. Б. м. наз. тройка [img: http://localhost:8080/file/010219-74.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010219-75.jpg] - невырожденная булева алгебра, [img: http://localhost:8080/file/010219-76.jpg] - непустое множество и [img: http://localhost:8080/file/010219-77.jpg] - функция, определенная на W и такая, что [img: http://localhost:8080/file/010219-78.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010219-79.jpg] есть n-местный функциональный символ, и [img: http://localhost:8080/file/010219-80.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010219-81.jpg] есть n-местный предикатный символ. Запись [img: http://localhost:8080/file/010219-82.jpg] обозначает множество всех функций, определенных на [img: http://localhost:8080/file/010219-83.jpg] со значениями в [img: http://localhost:8080/file/010219-84.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010219-85.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010219-86.jpg] - натуральное число. Булева алгебра BM наз. множеством истинностных значений модели М. Множество [img: http://localhost:8080/file/010219-87.jpg] наз. универсумом модели М. Б. м. Мназ. также S-моделью, если множество истинностных значений есть булева алгебра В, [img: http://localhost:8080/file/010219-88.jpg]. Если булева алгебра Вдвухэлементна (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010219-89.jpg]), то S-модель Месть классическая двузначная модель. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010219-90.jpg] - язык, пополненный новыми индивидными константами: для каждого [img: http://localhost:8080/file/010219-91.jpg] своя индивидная константа [img: http://localhost:8080/file/010219-92.jpg]. Пусть Месть В-модель и [img: http://localhost:8080/file/010219-93.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010219-94.jpg] - полная булева алгебра. Тогда нижеследующие равенства 1) - 8) определяют значение [img: http://localhost:8080/file/010219-95.jpg] каждого замкнутого выражения е(т. е. формулы или терма без свободных переменных) языка [img: http://localhost:8080/file/010219-96.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010219-97.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010219-98.jpg] - замкнутые термы и [img: http://localhost:8080/file/010219-99.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010219-100.jpg] -местный функциональный или предикатный символ; [img: http://localhost:8080/file/010219-101.jpg] Соотношения 1) - 8) определяют значение [img: http://localhost:8080/file/010219-102.jpg] и для некоторых неполных булевых алгебр; надо только, чтобы существовали бесконечные объединения и пересечения в 7) и 8). Понятие Б. м. можно ввести и для языков со многими сортами переменных. В этом случае для каждого сорта переменных будет своя область изменения [img: http://localhost:8080/file/010219-103.jpg]. Замкнутая формула [img: http://localhost:8080/file/010219-104.jpg] наз. истинной в В-модели [img: http://localhost:8080/file/010219-105.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010219-106.jpg] В-модель Мназ. моделью теории [img: http://localhost:8080/file/010219-107.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010219-108.jpg] для каждой аксиомы [img: http://localhost:8080/file/010219-109.jpg] теории Т. Если hесть гомоморфизм булевой алгебры Вна булеву алгебру В', сохраняющий бесконеяные объединения и пересечения, то существует [img: http://localhost:8080/file/010219-110.jpg] -модель [img: http://localhost:8080/file/010219-111.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/010219-112.jpg] для каждой замкнутой формулы [img: http://localhost:8080/file/010219-113.jpg] языка [img: http://localhost:8080/file/010219-114.jpg]. В случае, если универсум модели Мсчетен, то существует гомоморфизм h в булеву алгебру {0,1}, позволяющий переделать модель Мв классическую двузначную модель М' такую, что [img: http://localhost:8080/file/010219-115.jpg] Доказано, что теория Тнепротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет Б. м. На этой теореме основано применение теории Б. м. к вопросам непротиворечивости аксиоматич. теорий. Если Б. м. теории Тстроится средствами другой аксиоматич. теории S, то получается результат о непротиворечивости теории Тотносительно S. Так, напр., результат П. Коэна (P. Cohen) о непротиворечивости теории [img: http://localhost:8080/file/010219-116.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/010219-117.jpg] можно получить построением соответствующей Б. м. средствами системы [img: http://localhost:8080/file/010219-118.jpg] (см. Вынуждения метод). Построение коэновского отношения вынуждения [img: http://localhost:8080/file/010219-119.jpg] равносильно построению такой Б. м. М, что [img: http://localhost:8080/file/010219-120.jpg]