Бэра классы

- семейства действительных функций, определяемые индуктивно по порядковому числу знаков предела, входящих в определение функции, и-составляющие классификацию функций, предложенную Р. Бэром (R. Baire, 1899; см. [1]) и называемую классификацпей Бэра. Нулевым классом Бэра [img: http://localhost:8080/file/010220-242.jpg] наз. множество всех непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/010220-243.jpg] где А - метрич. пространство. Первый класс Бэра [img: http://localhost:8080/file/010220-244.jpg] есть множество разрывных функций [img: http://localhost:8080/file/010220-245.jpg], являющихся пределом сходящейся в каждой точке последовательности непрерывных функций. Класс Бэра [img: http://localhost:8080/file/010220-246.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010220-247.jpg] - трансфннитное число первого или второго класса, определяется как множество функций [img: http://localhost:8080/file/010220-248.jpg], не входящих ни в один из предшествующих классов, но представимых в виде [img: http://localhost:8080/file/010220-249.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010220-250.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010220-251.jpg] Объединение Б. к. [img: http://localhost:8080/file/010220-252.jpg] по всем трансфинитам первого и второго классов составляет множество функций Бэра (или бэровских функций). Это есть минимальный, замкнутый в. содержащий все непрерывные функции. Линейная комбинация, произведение и частное (если знаменатель не обращается в нуль) функции Б. к. не выше а является функцией Б. к. не выше [img: http://localhost:8080/file/010220-254.jpg]. Равномерно сходящаяся последовательность функций Б. к. не выше [img: http://localhost:8080/file/010220-255.jpg] имеет пределом функцию Б. к. не выше [img: http://localhost:8080/file/010220-256.jpg]. Установлены [4] необходимые и достаточные условия для того, чтобы последовательность функций Б. к. не выше [img: http://localhost:8080/file/010220-257.jpg] сходилась к функции Б. к. не выше [img: http://localhost:8080/file/010220-258.jpg]. Открытым ядром множества Атопологического пространства наз. объединение всех открытых множеств [img: http://localhost:8080/file/010220-259.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010220-260.jpg] - полное пространство с непустым плотным в себе ядром, то ни один Б. к. не пуст (см. [2]). Множество функций Бэра совпадает с множеством функций, измеримых по Борелю (см. Бвреля мера);поэтому все они измеримы по Лебегу (см. Лебега мера).- Функция [img: http://localhost:8080/file/010220-261.jpg], измеримая по Лебегу, эквивалентна нек-рой функции Бэра не выше второго Б. к. (см. [3]). Р. Бэр, рассматривая функции, определенные в [img: http://localhost:8080/file/010220-262.jpg] (в основном в [img: http://localhost:8080/file/010220-263.jpg]), наиболее подробно исследовал функции первого класса. Он показал, что для принадлежности разрывной функции первому классу необходимо и достаточно существование точки непрерывности индуцированной функции на каждом совершенном множестве (теорема Бэра). Это утверждение переносится на функции [img: http://localhost:8080/file/010220-264.jpg], если Аобладает Бэра свойством (см. [2]). Понятие функций Бэра естественным образом обобщается на функции [img: http://localhost:8080/file/010220-265.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010220-266.jpg] - произвольное метрич. пространство.