Вариационно-параметрический метод

метод, объединяющий вариационный метод Г. М. Голузина (см. Внутренних вариаций метод).и параметрических представлений метод К. Лёвнера [img: http://localhost:8080/file/010303-10.jpg] для важного подкласса однолистных функций класса S, отображающих круг [img: http://localhost:8080/file/010303-11.jpg] на области, получающиеся из плоскости [img: http://localhost:8080/file/010303-12.jpg] проведением разрезов по кусочно непрерывным дугам. Это объединение достигается посредством специальной вариации, определяемой в простейшем случае одного жорданова разреза следующей теоремой. Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010303-13.jpg] отображает Ена область [img: http://localhost:8080/file/010303-14.jpg], полученную из [img: http://localhost:8080/file/010303-15.jpg] проведением разреза [img: http://localhost:8080/file/010303-16.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010303-17.jpg] непрерывна, а область [img: http://localhost:8080/file/010303-18.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010303-19.jpg], односвязна. Можно считать параметризацию разреза Lтакой, что присоединенная к [img: http://localhost:8080/file/010303-20.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010303-21.jpg], однолистно и конформно отображающая [img: http://localhost:8080/file/010303-22.jpg] на Е, нормирована условней [img: http://localhost:8080/file/010303-23.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010303-24.jpg] обозначает функцию, обратную к [img: http://localhost:8080/file/010303-25.jpg] при фиксированном [img: http://localhost:8080/file/010303-26.jpg]. Тогда, каковы бы ни были точки [img: http://localhost:8080/file/010303-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010303-28.jpg] и постоянные [img: http://localhost:8080/file/010303-29.jpg], в классе S существует функция [img: http://localhost:8080/file/010303-30.jpg], представимая в виде [img: http://localhost:8080/file/010303-31.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/010303-32.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010303-33.jpg] - голоморфная в Ефункция, предел отношения к-рой к [img: http://localhost:8080/file/010303-34.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010303-35.jpg] равномерно стремится к иулю внутри Е. Использование в процессе исследования экстремальных задач на классе Sспециальной (упомянутой выше) вариации и уравнения Лёвнера [img: http://localhost:8080/file/010303-36.jpg] к-рому удовлетворяет функция [img: http://localhost:8080/file/010303-37.jpg] при условии [img: http://localhost:8080/file/010303-38.jpg], обычно позволяет получать для функции, присоединенной к экстремальной, два уравнения. Несмотря на содержащиеся в них постоянные, выражаемые через значения экстремальной функции, дальнейшее исследование этих уравнений в большом числе случаев привело к полному решению рассмотренных задач, в частности к решению задачи об области значений функционала, аналитически зависящего от функции, ее производной и сопряженных им значений на классе S. Метод был предложен П. П. Куфаревым [1] (о дальнейшем его развитии и применениях см. [2] - [5]).