Вариационные принципы

в теории функций комплексного переменного - положения, выявляющие закономерности изменения отображающих функций при определенных деформациях плоских областей. Основным качественным В. п. является Линделёфа принцип, к-рый состоит в следующем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010303-39.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010303-40.jpg],-односвязная конечная область в [img: http://localhost:8080/file/010303-41.jpg] -плоскости, имеющая более одной граничной точки, и пусть [img: http://localhost:8080/file/010303-42.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010303-43.jpg],-линия уровня функции Грина для Bk, т. е. образ окружности [img: http://localhost:8080/file/010303-44.jpg] при однолистном конформном отображении круга [img: http://localhost:8080/file/010303-45.jpg] на область [img: http://localhost:8080/file/010303-46.jpg], оставляющем неподвижным начало. Пусть далее функция [img: http://localhost:8080/file/010303-47.jpg], осуществляет однолистное конформное отображение области [img: http://localhost:8080/file/010303-48.jpg] в область [img: http://localhost:8080/file/010303-49.jpg]. Тогда: 1) любой точке [img: http://localhost:8080/file/010303-50.jpg], лежащей на [img: http://localhost:8080/file/010303-51.jpg], соответствует точка, находящаяся либо на линии уровня [img: http://localhost:8080/file/010303-52.jpg] (это возможно лишь, если [img: http://localhost:8080/file/010303-53.jpg]), либо внутри нее; 2) [img: http://localhost:8080/file/010303-54.jpg] однолистное конформное отображение [img: http://localhost:8080/file/010303-55.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010303-56.jpg] (равенство имеет место только в случае [img: http://localhost:8080/file/010303-57.jpg]). Принцип Линделёфа выводится из теоремы Римана о конформном изоморфизме областей и из леммы Шварца. Более тонкие построения позволяют находить поточечные отклонения отображающих функций, вызванные заданной деформацией отображаемых областей. Основной количественный В. п., полученный М. А. Лаврентьевым [1] (см. также [2]), состоит в следующем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010303-58.jpg], - односвязная конечная область с аналитич. раницей. Пусть имеется семейство областей [img: http://localhost:8080/file/010303-59.jpg], с жордановыми границами [img: http://localhost:8080/file/010303-60.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010303-61.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010303-62.jpg] равномерно относительно Кдифференцируема по tпри t=0, и пусть [img: http://localhost:8080/file/010303-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010303-64.jpg],-функция, однолистно и конформно отображающая [img: http://localhost:8080/file/010303-65.jpg] на круг [img: http://localhost:8080/file/010303-66.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010303-67.jpg] - обратная к [img: http://localhost:8080/file/010303-68.jpg] функция при фиксированном t. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010303-69.jpg] и равномерно внутри [img: http://localhost:8080/file/010303-70.jpg] стремится к [img: http://localhost:8080/file/010303-71.jpg] нулю при [img: http://localhost:8080/file/010303-72.jpg]. В [3] дано распространение этого результата на двусвязные области. При дальнейших ограничениях на области [img: http://localhost:8080/file/010303-73.jpg] удается получить равномерные в замкнутой области оценки остаточных членов в разложении отображающей функции по параметрам, характеризующим деформацию границ рассматриваемых областей (см. [4]).