Вариация множества

число, характеризующее k-мерную протяженность множества в n-мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация [img: http://localhost:8080/file/010304-23.jpg] замкнутого ограниченного множества Еесть число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости линейная вариация множества (то есть В. м. порядка 1) [img: http://localhost:8080/file/010304-24.jpg] есть интеграл, [img: http://localhost:8080/file/010304-25.jpg] от функции [img: http://localhost:8080/file/010304-26.jpg] где интегрирование ведется по прямой [img: http://localhost:8080/file/010304-27.jpg], проходящей через начало координат, [img: http://localhost:8080/file/010304-28.jpg] - угол наклона [img: http://localhost:8080/file/010304-29.jpg] к фиксированной оси и [img: http://localhost:8080/file/010304-30.jpg] - прямая, перпендикулярная к [img: http://localhost:8080/file/010304-31.jpg] и пересекающая ее. в точке [img: http://localhost:8080/file/010304-32.jpg]. Нормирующая константа свыбирается так, чтобы вариация [img: http://localhost:8080/file/010304-33.jpg] отрезка Есовпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, напр, спрямляемых кривых, В. м. равна длине кривой. Для замкнутой области Есо спрямляемой границей Г линейная В. м. [img: http://localhost:8080/file/010304-34.jpg] равна половине длины Г. Вторая В. м. (то есть В. м. порядка 2) есть двумерная мера множества [img: http://localhost:8080/file/010304-35.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010304-36.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010304-37.jpg]. Для я-мерного евклидова пространства вариацией [img: http://localhost:8080/file/010304-38.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/010304-39.jpg] ограниченного замкнутого множества [img: http://localhost:8080/file/010304-40.jpg] наз. интеграл [img: http://localhost:8080/file/010304-41.jpg] от нулевой вариации пересечения [img: http://localhost:8080/file/010304-42.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/010304-43.jpg] -мерной плоскостью [img: http://localhost:8080/file/010304-44.jpg] по пространству [img: http://localhost:8080/file/010304-45.jpg] всех [img: http://localhost:8080/file/010304-46.jpg] -мерных плоскостей из [img: http://localhost:8080/file/010304-47.jpg], с Хаара мерой [img: http://localhost:8080/file/010304-48.jpg], нормированной так, чтобы единичный k-мерный куб [img: http://localhost:8080/file/010304-49.jpg] имел В. м. В. [img: http://localhost:8080/file/010304-50.jpg] м. [img: http://localhost:8080/file/010304-51.jpg] совпадает с re-мерной мерой Лебега множества Е. Для выпуклых тел В. м. при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского (см. [4]). Свойства В. м. 1) Для [img: http://localhost:8080/file/010304-52.jpg] В. м. [img: http://localhost:8080/file/010304-53.jpg] не зависит от того, вычисляется она для [img: http://localhost:8080/file/010304-54.jpg] или для [img: http://localhost:8080/file/010304-55.jpg] 2) В. м. выражаются индуктивно по формуле [img: http://localhost:8080/file/010304-56.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-57.jpg] - нормирующая константа. 3) Условие [img: http://localhost:8080/file/010304-58.jpg] влечет [img: http://localhost:8080/file/010304-59.jpg] 4) В. м. (в известном смысле) не зависят друг от друга, т. е. для любой последовательности чисел [img: http://localhost:8080/file/010304-60.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-61.jpg] - целое, [img: http://localhost:8080/file/010304-62.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-63.jpg] можно построить множество [img: http://localhost:8080/file/010304-64.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010304-65.jpg] 5) [img: http://localhost:8080/file/010304-66.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010304-67.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010304-68.jpg] не пересекаются. В общем случае [img: http://localhost:8080/file/010304-69.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/010304-70.jpg] В. м. [img: http://localhost:8080/file/010304-71.jpg] не монотонны, т. е. может оказаться, что [img: http://localhost:8080/file/010304-72.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010304-73.jpg]. 6) В. м. полунепрерывны, т. е. если последовательность замкнутых ограниченных множеств [img: http://localhost:8080/file/010304-74.jpg] сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству [img: http://localhost:8080/file/010304-75.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010304-76.jpg] а если, к тому же, равномерно ограничены суммы [img: http://localhost:8080/file/010304-77.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010304-78.jpg] 7) В. м. [img: http://localhost:8080/file/010304-79.jpg] совпадаете k-мерной Хаусдорфа мерой множества Е, если [img: http://localhost:8080/file/010304-80.jpg], а. [img: http://localhost:8080/file/010304-81.jpg] Эти условия выполняются, напр., для дважды гладких многообразий. Понятие В. м. возникло в связи с исследованием решений системы Коши - Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. В. м. оказалась полезным аппаратом при решении нек-рых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных (см. [1]), а также в вопросах аппроксимации (см. [2]).