Вариация отображения

числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Определена С. Банахом [1]. Ниже дается определение лишь для двумерного случая. Рассмотрим отображение [img: http://localhost:8080/file/010304-98.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-99.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010304-100.jpg] -непрерывные на квадрате [img: http://localhost:8080/file/010304-101.jpg] X [img: http://localhost:8080/file/010304-102.jpg] функции. Говорят, что отображение [img: http://localhost:8080/file/010304-103.jpg] имеет ограниченную вариацию, если существует число [img: http://localhost:8080/file/010304-104.jpg] такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов [img: http://localhost:8080/file/010304-105.jpg] со сторонами, параллельными осям координат [img: http://localhost:8080/file/010304-106.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/010304-107.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-108.jpg] обозначает образ множества [img: http://localhost:8080/file/010304-109.jpg] при отображении [img: http://localhost:8080/file/010304-110.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010304-111.jpg] - плоскую меру Лебега множества Е. При этом численное значение [img: http://localhost:8080/file/010304-112.jpg] В. о. [img: http://localhost:8080/file/010304-113.jpg] может быть определено различными способами. Напр., пусть отображение [img: http://localhost:8080/file/010304-114.jpg] имеет ограниченную вариацию. Тогда вариация [img: http://localhost:8080/file/010304-115.jpg] может быть определена по формуле [img: http://localhost:8080/file/010304-116.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-117.jpg] - число решений системы [img: http://localhost:8080/file/010304-118.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-119.jpg] (индикатриса Банаха отображения [img: http://localhost:8080/file/010304-120.jpg]), Если отображение [img: http://localhost:8080/file/010304-121.jpg] имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на [img: http://localhost:8080/file/010304-122.jpg] существует обобщенный якобиан [img: http://localhost:8080/file/010304-123.jpg], к-рый интегрируем на [img: http://localhost:8080/file/010304-124.jpg]. При этом. [img: http://localhost:8080/file/010304-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-126.jpg] - квадрат, содержащий точку [img: http://localhost:8080/file/010304-127.jpg], стороны к-рого параллельны осям [img: http://localhost:8080/file/010304-128.jpg] (см. [2]).