Вейбулла распределение

специальный вид распределения вероятностей случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010305-42.jpg]; характеризуется функцией распределения [img: http://localhost:8080/file/010305-43.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010305-44.jpg] - параметр формы кривой распределения, [img: http://localhost:8080/file/010305-45.jpg] - параметр масштаба, [img: http://localhost:8080/file/010305-46.jpg] - параметр сдвига. Семейство распределений (*) названо по имени В. Вейбулла [1], впервые использовавшего его для аппроксимации экспериментальных данных о прочности стали на разрыв при усталостпых испытаниях и предложившего методы оценки параметров распределения (*). В. р. принадлежит к асимптотич. распределению третьего типа крайних членов вариационного ряда. Оно широко используется для описания закономерностей отказов шарикоподшипников, вакуумных приборов, элементов электроники. Частными случаями В. р. являются экспоненциальное (р=1) и рэлеевское (р=2) распределения. Кривые функции распределения (*) не принадлежат семейству распределений Пирсона. Имеются вспомогательные таблицы для вычислений функции распределения Вейбулла (см. [2]). При [img: http://localhost:8080/file/010305-47.jpg] квантиль уровня qравна [img: http://localhost:8080/file/010305-48.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010305-49.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010305-50.jpg] - гамма-функция; коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс не зависят от [img: http://localhost:8080/file/010305-51.jpg], что облегчает их табулирование и создание вспомогательных таблиц для получения оценок параметров. При [img: http://localhost:8080/file/010305-52.jpg] В. р. унимодально, мода равна [img: http://localhost:8080/file/010305-53.jpg], а функция опасности отказов [img: http://localhost:8080/file/010305-54.jpg] не убывает. При [img: http://localhost:8080/file/010305-55.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010305-56.jpg] монотонно убывает. Можно построить так. наз. вероятностную бумагу Вейбулла (см. [3]). На ней [img: http://localhost:8080/file/010305-57.jpg] трансформируется в прямую, при [img: http://localhost:8080/file/010305-58.jpg] образ [img: http://localhost:8080/file/010305-59.jpg] имеет вогнутость, а при [img: http://localhost:8080/file/010305-60.jpg] - выпуклость. Оценки параметров В. р. по методу квантилей приводят к уравнениям существенно более простым, чем по методу максимального правдоподобия. Совместная асимптотич. эффективность оценок параметров [img: http://localhost:8080/file/010305-61.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010305-62.jpg] (при [img: http://localhost:8080/file/010305-63.jpg]) по методу квантилей максимальна (и равна 0,64) при. использовании квантилей уровня 0,24 и 0,93. Функция распределения (*) хорошо аппроксимируется функцией распределения логнормального распределения [img: http://localhost:8080/file/010305-64.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010305-65.jpg] - функция распределения нормированного нормального распределения, [img: http://localhost:8080/file/010305-66.jpg]): [img: http://localhost:8080/file/010305-67.jpg] Лит:[1]Weibull W., A statistical theory of the strength of materials, Stockh., 1939; [2] Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д., Математические методы в теории надежности, М., 1965; [3] Jоhnsоn L., The statistical treatment of fatigue experiments, Amst., 1964; [4] Крамер Г Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М, 1975. Ю. К. Беляев, Е. В. Чепурин.