Векторное аналитическое расслоение

локально тривиальное аналитич. расслоение над аналитич. ространством, слои к-рого обладают структурой n-мерного векторного пространства над основным полем k(если [img: http://localhost:8080/file/010307-237.jpg] - иоле комплексных чисел, то аналитич. расслоение наз. также голоморфны м). Число пназ. рангом, или размерностью, расслоения. Так же, как в топологич. случае (см. Векторное расслоение), определяются категория векторных аналитич. расслоений, понятия подрасслое-ния, факторрасслоения, прямой суммы, тензорного произведения, внешней степени В. а. р. и т. д. Аналитич. сечения В. а. р. [img: http://localhost:8080/file/010307-238.jpg] с базой; Xобразуют модуль [img: http://localhost:8080/file/010307-239.jpg] над алгеброй [img: http://localhost:8080/file/010307-240.jpg] аналитич. функций на базе. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010307-241.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010307-242.jpg] компактно, [img: http://localhost:8080/file/010307-243.jpg] - конечномерное векторное пространство над [img: http://localhost:8080/file/010307-244.jpg] (см. Конечности теоремы). Если же X - конечномерное комплексное пространство Штейна, то [img: http://localhost:8080/file/010307-245.jpg] - проективный модуль конечного типа над [img: http://localhost:8080/file/010307-246.jpg], причем соответствие [img: http://localhost:8080/file/010307-247.jpg] определяет эквивалентность категории В. а. р. над Xи категории проективных [img: http://localhost:8080/file/010307-248.jpg] модулей конечного типа [4]. Примерами В. а. р. являются касательное расслоение на аналитич. многообразии X(его аналитич. сечения - аналнтич. векторные поля на X), нормальное расслоение на подмногообразии [img: http://localhost:8080/file/010307-249.jpg]. Классификация В. а. р. ранга пна заданном аналитич. ространстве Xравносильна классификации главных аналитических расслоений с базой X и структурной группой [img: http://localhost:8080/file/010307-250.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/010307-251.jpg] проведена полностью только в некоторых специальных случаях. Для проективных комплексных алгебраич. многообразий Xона совпадает с классификацией алгебраич. векторных расслоений (см. Сравнения теоремы в алгебраической геометрии). В. а. р. ранга 1 на комплексном пространстве X(иначе, расслоения на комплексные прямые или линейные расслоения) играют важную роль в комплексной аналитич. еометрии. Каждый дивизор на пространстве Xестественным образом определяет аналптич. расслоение ранга 1, причем два дивизора определяют изоморфные расслоения тогда и только тогда, когда они линейно эквивалентны. На проективном алгебраич. многообразии всякое линейное аналитич. расслоение определяется дивизором. Вложимость комплексного пространства Х в проективное пространство тесно связана с существованием на Xобильных линейных расслоений (см. Обильное векторное расслоение). Если на комплексном пространстве Xзадана дискретная группа Г его автоморфизмов, то каждый фактор автоморфности группы Г определяет линейное расслоение над [img: http://localhost:8080/file/010307-252.jpg], аналитич. сечения к-рого суть соответствующие авто-морфные формы. В. а. р. ранга 1 составляют группу [img: http://localhost:8080/file/010307-253.jpg] - пучок обратимых элементов структурного пучка. Сопоставление каждому расслоению его 1-го класса Чжэня дает гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010307-254.jpg] ядро к-рого есть множество топологически тривиальных линейных расслоений. В случае, когда X - комплексное многообразие, [img: http://localhost:8080/file/010307-255.jpg] можно описать как множество классов когомологий, нредставимых замкнутыми дифференциальными формами типа (1,1). Если Х, кроме того, компактно и кэлерово, то [img: http://localhost:8080/file/010307-256.jpg] изоморфно Пикара многообразию многообразия Xи тем самым является комплексным тором [2]. Каждому В. а. р. Vранга п на аналитич. ространстве Xсоответствует пучок ростков аналитич. сечений расслоения V, к-рый является локально свободным аналитическим пучком ранга пна X. Это соответствие определяет эквивалентность между категориями В.: [img: http://localhost:8080/file/010307-258.jpg] наз. аналитическим семейством векторных пространств над Х (или линейным пространством над Х), если его слои обладают структурой конечномерных векторных пространств над k, причем операции сложения, умножения на скаляр и пулевое сечение удовлетворяют естественным требованиям аналитичности. Если [img: http://localhost:8080/file/010307-259.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/010307-260.jpg] и Х когерентно), то аналнтич. семейство векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/010307-261.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010307-262.jpg] определяет когерентный аналитич. учок Fна X:для [img: http://localhost:8080/file/010307-263.jpg] группа [img: http://localhost:8080/file/010307-264.jpg] есть пространство аналнтич. функций на [img: http://localhost:8080/file/010307-265.jpg], линейных на слоях. Тем самым определяется двойственность между категориями аналитич. семейств векторных пространств и когерентных аналитич. учков на А.