Векторное пространство

, линейное пространство, над полем К, - аддитивно записанная абелева группа Е, в которой определено умножение элементов на скаляры, т. е. отображение [img: http://localhost:8080/file/010307-328.jpg] удовлетворяющее следующим аксиомам [img: http://localhost:8080/file/010307-329.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-330.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-331.jpg] Из аксиом 1) - 4) вытекают следующие важные свойства векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/010307-332.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010307-333.jpg] Элементы В. п. наз. точками В. п., или векторами, а элементы поля К - скалярами. Наибольшее применение в математике и приложениях имеют В. п. над полем [img: http://localhost:8080/file/010307-334.jpg] комплексных чисел или над полем [img: http://localhost:8080/file/010307-335.jpg] действительных чисел; они наз. соответственно комплексными В. п. или действительными В. п. Аксиомы В. п. выявляют нек-рые алгебраич. свойства многих классов функций, часто встречающихся в анализе. Из примеров В. п. самыми фундаментальными и наиболее ранними являются n-мерные евклидовы пространства. Почти столь же важными примерами являются многие функциональные пространства: пространство непрерывных функций, пространство измеримых функций, пространство суммируемых функций, пространство аналитич. функций, пространство функций ограниченной вариации. Понятие В. п. есть частный случай понятия модуля над кольцом, а именно, В. н. есть унитарный модуль над полем. Унитарный модуль над некоммутативным телом также наз. векторным пространством над телом; теория таких В. п. во многом сложнее теории В. п. над полем. Одной из важных задач, связанных с В. п., является изучение геометрии В. п., т. е. изучение прямых в В. п., плоских и выпуклых множеств в В. п., подпространств В. п. и базисов в В. п. Векторным подпространством, или просто подпространством, В. п. Енад полем А' наз. подмножество [img: http://localhost:8080/file/010308-1.jpg], замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть В. п. над тем же полем. Прямой линией, проходящей через две точки хи уВ. п. Е, наз. множество элементов [img: http://localhost:8080/file/010308-2.jpg] вида [img: http://localhost:8080/file/010308-3.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/010308-4.jpg] наз. плоским множеством, если вместе с любыми двумя точками оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из нек-рого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): [img: http://localhost:8080/file/010308-5.jpg]; это означает, что каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/010308-6.jpg] представим единственным образом в виде [img: http://localhost:8080/file/010308-7.jpg] причем это равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между Fи G. Совокупность всех сдвигов [img: http://localhost:8080/file/010308-8.jpg] данного подпространства [img: http://localhost:8080/file/010308-9.jpg] образует В. п. над К, наз. фактор-пространством [img: http://localhost:8080/file/010308-10.jpg], если определить операции следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/010308-11.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010308-12.jpg] - произвольное множество векторов из Е;линейной комбинацией векторов [img: http://localhost:8080/file/010308-13.jpg] наз. вектор х, определенный формулой [img: http://localhost:8080/file/010308-14.jpg] в к-рой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества Мявляется наименьшим подпространством, содержащим М, и наз. линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация наз. тривиальной, если все коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/010308-15.jpg] равны нулю. Множество Мназ. линейно независимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из Мотличны от нуля. Любое линейно независимое множество содержится в нек-ром максимальном линейно независимом множестве [img: http://localhost:8080/file/010308-16.jpg], т. е. в таком множестве, к-рое перестает быть линейно независимым после присоединения к нему любого элемента из Е. Каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/010308-17.jpg] может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации элементов максимального линейно независимого множества: [img: http://localhost:8080/file/010308-18.jpg] В связи с этим максимальное линейно независимое множество наз. базисом В. п. (алгебраическим базисом). Все базисы данного В. п. имеют одинаковую мощность, к-рая наз. размерностью В. п. Если эта мощность конечна, пространство наз. конечномерным В. п.; в противном случае оно наз. бесконечномерным В. п. Поле Кможно рассматривать как одномерное В. п. над полем К;базис этого В. п. состоит из одного элемента; им может быть любой элемент, отличный от нуля. Конечномерное В. п. с базисом из пэлементов наз. n-мерным пространством. В теории действительных и комплексных В. п. важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество Мв действительном В. п. наз. выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками х, у отрезок [img: http://localhost:8080/file/010308-19.jpg] также принадлежит М. Большое место в теории В. п. занимает теория линейных функционалов на В. п. и связанная с этим теория двойственности. Пусть Еесть В. п. над полем К. Линейным функционалом на Еназ. аддитивное и однородное отображение [img: http://localhost:8080/file/010308-20.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010308-21.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/010308-22.jpg] всех линейных функционалов на Еобразует В. п. над полем Котносительно операций [img: http://localhost:8080/file/010308-23.jpg] Это В. п. наз. сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрич. терминов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010308-24.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010308-25.jpg]); аннулятором множества D, или ортогональным дополнением множества D (соответственно множества Г) наз. множество [img: http://localhost:8080/file/010308-26.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010308-27.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010308-28.jpg] п [img: http://localhost:8080/file/010308-29.jpg] - подпространства соответственно пространств [img: http://localhost:8080/file/010308-30.jpg] Если f - ненулевой элемент из [img: http://localhost:8080/file/010308-31.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010308-32.jpg] есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, наз. иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства наз. гиперплоскостьюв Е;всякая гиперплоскость имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010308-33.jpg] Если F ~ подпространство В. п. Е, то существуют естественные изоморфизмы между [img: http://localhost:8080/file/010308-34.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010308-35.jpg] Подмножество [img: http://localhost:8080/file/010308-36.jpg] наз. тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент: [img: http://localhost:8080/file/010308-37.jpg] Каждому линейно независимому множеству [img: http://localhost:8080/file/010308-38.jpg] можно сопоставить сопряженное множество [img: http://localhost:8080/file/010308-39.jpg], т. е. такое множество, что [img: http://localhost:8080/file/010308-40.jpg] (Кронекера символ).для всех [img: http://localhost:8080/file/010308-41.jpg] Множество пар [img: http://localhost:8080/file/010308-42.jpg] наз. при этом биортогональной системой. Если множество [img: http://localhost:8080/file/010308-43.jpg] есть базис в Е, то [img: http://localhost:8080/file/010308-44.jpg] тотально над [img: http://localhost:8080/file/010308-45.jpg]. Значительное место в теории В. п. занимает теория линейных преобразований В. п. Пусть Е 1, Е 2 - два В. п. над одним и тем же полем К. Линейным отображением, или линейным оператором, Т, отображающим В. п. E1 в В. п. Е 2 (или линейным оператором из E1 в E2), наз. аддитивное и однородное отображение пространства Е 1 в Е 2: [img: http://localhost:8080/file/010308-46.jpg] Частным случаем этого понятия является линейный функционал, или линейный оператор из Е 1 в K. Линейным отображением является, напр., естественное отображение В. п. E на факторпространство [img: http://localhost:8080/file/010308-47.jpg], сопоставляющее каждому элементу [img: http://localhost:8080/file/010308-48.jpg] плоское множество [img: http://localhost:8080/file/010308-49.jpg]. Совокупность [img: http://localhost:8080/file/010308-50.jpg] всех линейных операторов [img: http://localhost:8080/file/010308-51.jpg] образует В. п. относительно операций [img: http://localhost:8080/file/010308-52.jpg] Два В. п. Е 1 и E2 наз. изоморфными В. п., если существует линейный оператор ("изоморфизм"), осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их элементами. Е 1 и E2 изоморфны тогда и только тогда, когда их базисы имеют одинаковую мощность. Пусть Т - линейный оператор, отображающий Е 1 в Е 2. Сопряженным линейным оператором, или двойственным линейным оператором, по отношению к Т, наз. линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/010308-53.jpg] определенный равенством [img: http://localhost:8080/file/010308-54.jpg] Имеют место соотношения [img: http://localhost:8080/file/010308-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010308-56.jpg] откуда следует, что [img: http://localhost:8080/file/010308-57.jpg] является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Тявляется изоморфизмом. С теорией линейных отображений В. п. тесно связана теория билинейных отображений и полилинейных отображений В. п. Важную группу задач теории В. п. образуют задачи продолжения линейных отображений. Пусть F - подпространство В. п. [img: http://localhost:8080/file/010308-58.jpg] - линейное пространство вад тем же полем, что и Е 1 и пусть [img: http://localhost:8080/file/010308-59.jpg] - линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/010308-60.jpg] требуется найти продолжение Тотображения Т 0, определенное на всем Е 1 и являющееся линейным отображением Е 1 в Е 2. Такое продолжение всегда существует, но дополнительные ограничения на функции (связанные с дополнительными структурами в В. п., напр., топологией или отношением порядка) могут сделать задачу неразрешимой. Примерами решения задачи продолжения являются Хана- Банаха теорема и теоремы о продолжении положительных функционалов в пространствах с конусом. Важным разделом теории В. п. является теория операций над В. п., т. е. способов построения новых В. п. по известным. Примеры таких операций - известные операции взятия подпространства и образования фак-торпространства по подпространству. Другие важные операции - построение прямой суммы, прямого произведения и тензорного произведения В. п. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010308-61.jpg] - семейство В. п. над полем К. Множество Е - произведение множеств [img: http://localhost:8080/file/010308-62.jpg] - можно превратить в В. п. над полем К, введя операции [img: http://localhost:8080/file/010308-63.jpg] полученное В. п. Еназ. прямым произведением В. п. [img: http://localhost:8080/file/010308-64.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010308-65.jpg]. Подпространство В. п. Е, состоящее из всех тех наборов [img: http://localhost:8080/file/010308-66.jpg], для каждого из к-рых множество [img: http://localhost:8080/file/010308-67.jpg] конечно, наз. прямой суммой В. п. [img: http://localhost:8080/file/010308-68.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010308-69.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010308-70.jpg]; для конечного числа слагаемых эти определения совпадают; в этом случае используются обозначения: [img: http://localhost:8080/file/010308-71.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010308-72.jpg] - два В. п. над полем [img: http://localhost:8080/file/010308-73.jpg] - тотальные подпространства В. п. [img: http://localhost:8080/file/010308-74.jpg] - В. п., имеющее своим базисом совокупность всех элементов пространства [img: http://localhost:8080/file/010308-75.jpg] Каждому элементу [img: http://localhost:8080/file/010308-76.jpg] сопоставляется билинейная функция [img: http://localhost:8080/file/010308-77.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010308-78.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/010308-79.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010308-80.jpg] Это отображение базисных векторов [img: http://localhost:8080/file/010308-81.jpg] можно продолжить до линейного отображения Г В. п. [img: http://localhost:8080/file/010308-82.jpg] в В. п. всех билинейных функционалов на [img: http://localhost:8080/file/010308-83.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010308-84.jpg]. Тензорным произведением В. п. Е 1 и Е 2 наз. факторпространство [img: http://localhost:8080/file/010308-85.jpg] образ элемента [img: http://localhost:8080/file/010308-86.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/010308-87.jpg]. В. п. [img: http://localhost:8080/file/010308-88.jpg] изоморфно В. п. билинейных функционалов на [img: http://localhost:8080/file/010308-89.jpg] (см. Тензорное произведение векторных пространств). Наиболее содержательной частью теории В. п. является теория конечномерных В. п. Но и понятие бесконечномерного В. п. часто оказывается плодотворным и имеет интересные приложения, особенно в теории топологических векторных пространств, т. е. В. п., наделенных топологией, определенным образом согласованной с его алгебраич. структурой.