Вероятностное пространство

поле вероятностей,- совокупность [img: http://localhost:8080/file/010310-56.jpg] непустого множества [img: http://localhost:8080/file/010310-57.jpg], класса [img: http://localhost:8080/file/010310-58.jpg] подмножеств множества Q, являющегося борелевским полем (т. е. замкнутым относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе) и распределения (вероятностной мери) [img: http://localhost:8080/file/010310-59.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010310-60.jpg]. Понятие В. п. принадлежит А. Н. Колмогорову [1]. Точки множества [img: http://localhost:8080/file/010310-61.jpg] наз. элементарными событиями, а само множество [img: http://localhost:8080/file/010310-62.jpg] - пространством элементарных событий. Принадлежащие [img: http://localhost:8080/file/010310-63.jpg] подмножества множества [img: http://localhost:8080/file/010310-64.jpg] наз. (случайными) событиями. Нередко ограничиваются рассмотрением лишь полных В. п., то есть пространств, удовлетворяющих требованию [img: http://localhost:8080/file/010310-65.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010310-66.jpg] - произвольное В. п., то класс множеств вида [img: http://localhost:8080/file/010310-67.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010310-68.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010310-69.jpg] образует борелевское поле [img: http://localhost:8080/file/010310-70.jpg] а функция [img: http://localhost:8080/file/010310-71.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010310-72.jpg] определяемая формулой [img: http://localhost:8080/file/010310-73.jpg] есть распределение на [img: http://localhost:8080/file/010310-74.jpg] Пространство [img: http://localhost:8080/file/010310-75.jpg] полно и наз. пополнением [img: http://localhost:8080/file/010310-76.jpg]. Иногда также ограничиваются рассмотрением лишь совершенны х В. п., то есть таких, что для любой действительной [img: http://localhost:8080/file/010310-77.jpg] -измеримой функции f и любого множества Ена прямой, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010310-78.jpg] существует борелевское множество Втакое, что [img: http://localhost:8080/file/010310-79.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010310-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010310-81.jpg]. В рамках совершенных В. п. невозможны нек-рые "патологические" явления (связанные с существованием условных вероятностей, определением независимых случайных величин и т. д.), возникающие в общей схеме. Не всегда тривиален вопрос о существовании В. п., удовлетворяющего тем или иным специальным требованиям. Одним из результатов такого рода является фундаментальная теорема Колмогорова о согласованных распределениях: пусть каждому упорядоченному конечному набору [img: http://localhost:8080/file/010310-82.jpg] элементов множества Тотвечает распределение [img: http://localhost:8080/file/010310-83.jpg] на борелевских множествах евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010310-84.jpg] и пусть выполнены следующие условия согласованности: [img: http://localhost:8080/file/010310-85.jpg] Тогда на наименьшем борелевском поле [img: http://localhost:8080/file/010310-86.jpg] подмножеств произведения [img: http://localhost:8080/file/010310-87.jpg] относительно к-рого'измеримы все координатные функции [img: http://localhost:8080/file/010310-88.jpg] существует распределение [img: http://localhost:8080/file/010310-89.jpg] такое, что для любого конечного подмножества [img: http://localhost:8080/file/010310-90.jpg] множества Ти любого и-мерного борелевского множества Всправедливо равенство: [img: http://localhost:8080/file/010310-91.jpg]