Верхний и нижний пределы

- 1) В. и н. п. последовательности - наибольший, и соответственно, наименьший, предел среди всех частичных пределов (конечных и бесконечных) данной последовательности действительных чисел. Для любой последовательности действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/010310-97.jpg] множество всех ее частичных пределов (конечных и бесконечных) на расширенной числовой прямой (т. е. в множестве действительных чисел, пополненном символами [img: http://localhost:8080/file/010310-98.jpg]) не пусто и имеет как наибольший, так и наименьший элементы (конечный пли бесконечный). Наибольший элемент множества частичных пределов наз. верхним пределом (в. п.) последовательности и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010310-99.jpg] наименьший элемент - нижним пределом (н. п.) н обозначается [img: http://localhost:8080/file/010310-100.jpg] Напр., если [img: http://localhost:8080/file/010310-101.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010310-102.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010310-103.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010310-104.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010310-105.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010310-106.jpg] У всякой последовательности существует в. п. (н. п.), при этом, если последовательность ограничена cверху (снизу), то ее в. п. (н. п.) конечен. Для того чтобы число а было в. п. (соответственно н. п.) последовательности [img: http://localhost:8080/file/010310-107.jpg] необходимо н достаточно, чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/010310-108.jpg] выполнялись условия: а) существует такой номер [img: http://localhost:8080/file/010310-109.jpg], что для всех номеров [img: http://localhost:8080/file/010310-110.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/010310-111.jpg]; б) для любого номера пД существует такой номер [img: http://localhost:8080/file/010310-112.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010310-113.jpg] Условие а) означает существование при любом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/010310-114.jpg] в последовательности [img: http://localhost:8080/file/010310-115.jpg] лишь конечного числа таких членов [img: http://localhost:8080/file/010310-116.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010310-117.jpg]. Условие б) означает существование бесконечного множества таких членов [img: http://localhost:8080/file/010310-118.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010310-119.jpg]. Понятие н. п. сводится к понятию в. п. с помощью изменения знака у членов последовательности: [img: http://localhost:8080/file/010310-120.jpg] Для того чтобы последовательность [img: http://localhost:8080/file/010310-121.jpg] имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов [img: http://localhost:8080/file/010310-122.jpg]), необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010310-123.jpg] 2) В. п. (н. п.) функции [img: http://localhost:8080/file/010310-124.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010310-125.jpg] - предел верхних (нижних) граней множеств значений функции [img: http://localhost:8080/file/010310-126.jpg] в окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010310-127.jpg], когда эти окрестности стягиваются к точке [img: http://localhost:8080/file/010310-128.jpg]. Он обозначается [img: http://localhost:8080/file/010310-129.jpg] Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010310-130.jpg] определена на метрич. пространстве [img: http://localhost:8080/file/010310-131.jpg] и принимает действительные значения на [img: http://localhost:8080/file/010310-132.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010310-133.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010310-134.jpg] -окрестность точки [img: http://localhost:8080/file/010310-135.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010310-136.jpg] соответственно [img: http://localhost:8080/file/010310-137.jpg] В каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010310-138.jpg] у функции [img: http://localhost:8080/file/010310-139.jpg] существуют как в. п. [img: http://localhost:8080/file/010310-140.jpg] так и н. п. [img: http://localhost:8080/file/010310-141.jpg] (конечные или бесконечные). Функция [img: http://localhost:8080/file/010310-142.jpg] полунепрерывна сверху, а функция [img: http://localhost:8080/file/010310-143.jpg] полунепрерывна снизу на пространстве [img: http://localhost:8080/file/010310-144.jpg] (в смысле понятия полунепрерывности функций, принимающих значения из расширенной числовой прямой). Для того чтобы функция [img: http://localhost:8080/file/010310-145.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010310-146.jpg] имела предел, (конечный или бесконечный, равный одному из символов [img: http://localhost:8080/file/010310-147.jpg]), необходимо п достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010310-148.jpg] Естественным образом понятие в.. п. (н. п.) функции в точке переносится на действительные функции, определенные на топологич. пространствах. 3) В. п. (н. п.) последовательности множеств [img: http://localhost:8080/file/010310-149.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/010310-150.jpg] состоящее из таких элементов [img: http://localhost:8080/file/010310-151.jpg], к-рые принадлежат бесконечному числу множеств [img: http://localhost:8080/file/010310-152.jpg]; соответственно, множество [img: http://localhost:8080/file/010310-153.jpg] таких элементов [img: http://localhost:8080/file/010310-154.jpg], к-рые принадлежат всем множествам [img: http://localhost:8080/file/010310-155.jpg], начиная с нек-рого номера [img: http://localhost:8080/file/010310-157.jpg]. Очевидно, [img: http://localhost:8080/file/010310-156.jpg]