Ветвящийся процесс

- случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением к.-л. объектов (напр., частиц в физике, молекул в химии, особей к.-л. популяции в биологии и т. п.). Основным математич. предположением, выделяющим класс В. п., является предположение независимости размножения частиц друг от друга. Однородный во времени В. п. m(t) с однотипными частицами определяется как марковский процесс со счетным числом состояний [img: http://localhost:8080/file/010311-265.jpg] переходные вероятности [img: http://localhost:8080/file/010311-266.jpg] к-рого удовлетворяют дополнительному условию ветвления: [img: http://localhost:8080/file/010311-267.jpg] Состояния [img: http://localhost:8080/file/010311-268.jpg] в В. п. интерпретируются как числа частиц. Вероятность [img: http://localhost:8080/file/010311-270.jpg] равна вероятности [img: http://localhost:8080/file/010311-269.jpg] того, что iчастиц за время tпревращаются в jчастиц. Основным аналитич. аппаратом В. п. являются производящие функции [img: http://localhost:8080/file/010311-271.jpg] Из условия ветвления (1) вытекает равенство [img: http://localhost:8080/file/010311-272.jpg] В В. п. с дискретным временем (в. п. с д. в.) tпринимает целые неотрицательные значения, и из (3) следует, что [img: http://localhost:8080/file/010311-273.jpg] есть t-кратная итерация функции [img: http://localhost:8080/file/010311-274.jpg]. Такой процесс иногда наз. процессом Гальтона - Ватсона. ВВ. п. с непрерывным временем (в. п. с н. в.) предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/010311-275.jpg], и существует правая производная [img: http://localhost:8080/file/010311-276.jpg] Из (3) следует, что [img: http://localhost:8080/file/010311-277.jpg] удовлетворяет дифференциальному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010311-278.jpg] и начальному условию [img: http://localhost:8080/file/010311-279.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010311-280.jpg] конечны, то математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/010311-281.jpg] числа частиц [img: http://localhost:8080/file/010311-282.jpg] (при условии [img: http://localhost:8080/file/010311-283.jpg]) равно [img: http://localhost:8080/file/010311-284.jpg] для в. п. с д. в. и равно [img: http://localhost:8080/file/010311-285.jpg] для в. п. с н. в. В зависимости от значения параметров Апли а В. п. подразделяются на докритические ([img: http://localhost:8080/file/010311-286.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010311-287.jpg]), критические ([img: http://localhost:8080/file/010311-288.jpg]) и надкритические ([img: http://localhost:8080/file/010311-289.jpg]). Основным свойством, определяющим эту классификацию, является поведение [img: http://localhost:8080/file/010311-290.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010311-291.jpg]. Ниже исключаются из рассмотрения тривиальные случаи [img: http://localhost:8080/file/010311-292.jpg] когда [img: http://localhost:8080/file/010311-293.jpg] Вероятность вырождения равна 1 в докритич. и критич. В. п. и меньше 1 в надкритич. В. п. Если [img: http://localhost:8080/file/010311-294.jpg] то в докритич. В. п. вероятность продолжения процесса [img: http://localhost:8080/file/010311-295.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010311-296.jpg] асимптотически ведет себя как [img: http://localhost:8080/file/010311-297.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010311-298.jpg] - положительная константа. В критич. В. п. с конечным [img: http://localhost:8080/file/010311-299.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010311-300.jpg] имеет место асимптотика [img: http://localhost:8080/file/010311-301.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010311-302.jpg] в в. п. с д. в. и [img: http://localhost:8080/file/010311-303.jpg] в в. п. с н. в., [img: http://localhost:8080/file/010311-304.jpg]. Более детальное изучение асимптотич. поведения распределения [img: http://localhost:8080/file/010311-305.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010311-306.jpg] показывает, что условный закон распределения [img: http://localhost:8080/file/010311-307.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010311-308.jpg] слабо сходится к предельному распределению [img: http://localhost:8080/file/010311-309.jpg], если конечны нек-рые моменты [img: http://localhost:8080/file/010311-310.jpg]. В до-крнтич. В. п. предельный закон [img: http://localhost:8080/file/010311-311.jpg] дискретен, а в остальных случаях абсолютно непрерывен. Особенно интересен случай критич. В. п., для к-рого предельный закон [img: http://localhost:8080/file/010311-312.jpg] показательный [img: http://localhost:8080/file/010311-313.jpg] Распределение (6) является предельным также и для В. п., близких к критическим. Точнее, если рассматривать класс производящих функций [img: http://localhost:8080/file/010311-314.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010311-315.jpg] с ограниченной 3-й производной [img: http://localhost:8080/file/010311-316.jpg] и с [img: http://localhost:8080/file/010311-317.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010311-318.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010311-319.jpg] определяется формулой (5). Явления, возникающие при [img: http://localhost:8080/file/010311-320.jpg] в В. п., близких к критическим, наз. переходными. Другой моделью В. п. является Беллмана - Хар-риса процесс, в к-ром каждая частица имеет случайное время жизни с функцией распределения G(t) В конце жизни частица оставляет потомство численности и с вероятностью [img: http://localhost:8080/file/010311-321.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010311-322.jpg] Времена жизни и численности потомства разных частиц независимы. Пусть в начальный момент t=0была одна частица нулевого возраста. Тогда производящая функция F(t; s)числа частиц [img: http://localhost:8080/file/010311-323.jpg] в момент t, определяемая формулой (2), удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010311-324.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010311-325.jpg] В частном случае, когда G(t) - вырожденная функция распределения, процесс Беллмана - Харриса есть в. п. с д. в.; когда же G(t) - показательная функция распределения, получается в. п. с н. в. В общем случае процесс Беллмана - Харриса - это немарковский В. п. Другое усложнение В. п. связано с зависимостью частиц от положения в пространстве. Пусть, напр., частицы независимо друг от друга совершают броуновское движение в r-мерной области G с поглощающей границей [img: http://localhost:8080/file/010312-1.jpg]. Частица, находящаяся внутри области G, за время [img: http://localhost:8080/file/010312-2.jpg] с вероятностью [img: http://localhost:8080/file/010312-3.jpg] превращается в пчастиц, к-рые начинают независимо друг от друга блуждать по броуновским траекториям из точки их рождения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010312-4.jpg] равно числу частиц в множестве Ав момент t, если в начальный момент О была одна частица в точке [img: http://localhost:8080/file/010312-5.jpg] Производящий функционал [img: http://localhost:8080/file/010312-6.jpg] удовлетворяет квазилинейному параболич. уравнению [img: http://localhost:8080/file/010312-7.jpg] с начальным условием [img: http://localhost:8080/file/010312-8.jpg] и граничным условием [img: http://localhost:8080/file/010312-9.jpg] - оператор Лапласа, а [img: http://localhost:8080/file/010312-10.jpg] В общем случае В. п. предполагается, что размножающиеся частицы характеризуются к.-л. параметрами, к-рые можно интерпретировать как возраст, положение частицы в пространстве, тип, размер или энергию частицы и т. п. Изучение таких процессов ведется е помощью производящих функций или функционалов, для к-рых выводятся нелинейные -дифференциальные или интегральные уравнения, обобщающие уравнения (4), (7), (8). Можно дать следующее общее описание таких моделей В. п. Пусть в нек-ром фазовом пространстве Xнезависимо друг от друга по закону марковского процесса блуждают частицы. Предполагается, что случайное время жизни частицы есть марковский момент, зависящий от ее траектории. В конце своей жизни частица производит новые частицы, к-рые по к.-л. вероятностному закону распределяются по фазовому пространству X. Новые частицы эволюционируют независимо друг от друга аналогичным образом. В пространстве целочисленных мер, определяемых чис-ленностями частиц в подмножествах X, так построенный В. п. является марковским. Однако В. п. часто рассматриваются в более простых редуцированных пространствах. В этом случае многие из них становятся немарковскими. В большей части приведенных выше моделей сохраняет смысл подразделение процессов на докритические, критические и надкритические В. п. При этом в более сложной обстановке сохраняются многие свойства, установленные для простых В. п., описываемых уравнением (4). В частности, в критич. процессах, как правило, в качестве предельного распределения для (5) (при соответствующей нормировке) возникает показательное распределение (6). В. и. находят применение при расчетах различных реальных биологич., генетич., физич., химич. или технич. процессов. В реальных процессах часто нарушается условие независимости размножения различных частиц и, наоборот, при размножении имеется взаимодействие частиц. Так обстоит дело во многих биологич. процессах размножения, в процессах распространения эпидемий (см. Эпидемии процессы), в бимолекулярных химич. реакциях и т. п. Однако начальные стадии развития таких процессов можно рассчитывать с помощью соответственно подобранных моделей В. п. Это делается в тех случаях, когда в среде имеется не очень много активных частиц, к-рые при малых концентрациях почтц не встречаются друг с другом, а изменения состояния системы происходят при встречах этих активных частиц с частицами среды. В процессах эпидемии, напр., такими "активными частицами" можно считать больных индивидуумов. В генетике с помощью В. п. можно рассчитывать, напр., явления, связанные с мутациями. Ветвящийся процесс с конечным числом типов частиц может служить моделью при расчетах цепных реакций; ветвящийся процесс с диффузией частиц - моделью нейтронных процессов в ядерных реакторах. Явления, возникающие в ливнях космич. лучей, также могут изучаться с помощью В. п. В телефонии расчет нек-рых систем с ожиданием сводится к моделям В. п. См. также Ветвящийся процесс со случайной средой, Ветвящийся процесс с иммиграцией, Ветвящихся процессов регулярность.