Ветвящийся процесс с иммиграцией

- модель ветвящегося процесса (с дискретным пли непрерывным временем, с одним или несколькими типами частиц и т. д.), в к-рой новые частицы могут появляться не только при делении частиц, но и в результате иммиграции из какого-то "внешнего источника". Напр., пусть [img: http://localhost:8080/file/010312-53.jpg] - независимые случайные величины с производящими функциями [img: http://localhost:8080/file/010312-54.jpg] соответственно; тогда ветвящийся Гальтона-Ватсона процесс с иммиграцией можно задать соотношениями ([img: http://localhost:8080/file/010312-55.jpg] - число частиц): [img: http://localhost:8080/file/010312-56.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010312-57.jpg] (величина [img: http://localhost:8080/file/010312-58.jpg] интерпретируется как размер потомства i-й частицы t-го поколения, величина [img: http://localhost:8080/file/010312-59.jpg] -как число частиц, иммигрирующих в t-e поколение). Производящие функции [img: http://localhost:8080/file/010312-60.jpg] определяются рекуррентными соотношениями [img: http://localhost:8080/file/010312-61.jpg] Соответствующая ветвящемуся процессу Гальтона-Ватсона с иммиграцией цепь Маркова [img: http://localhost:8080/file/010312-62.jpg] возвратна, если [img: http://localhost:8080/file/010312-63.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010312-64.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010312-65.jpg] и невозвратна, если [img: http://localhost:8080/file/010312-66.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010312-67.jpg]. Для эргодичности цепи Маркова [img: http://localhost:8080/file/010312-68.jpg], т. е. для того чтобы существовали пределы [img: http://localhost:8080/file/010312-69.jpg] необходимо и достаточно (см. [3]), чтобы [img: http://localhost:8080/file/010312-70.jpg] (это условие выполняется, в частности, если [img: http://localhost:8080/file/010312-71.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010312-72.jpg]). Если [img: http://localhost:8080/file/010312-73.jpg] то (см. [4]): [img: http://localhost:8080/file/010312-74.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010312-75.jpg] то (см. [5]) существует такая последовательность чисел [img: http://localhost:8080/file/010312-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010312-77.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010312-78.jpg] Для В. п. с и., в к-рых иммиграция происходит только при [img: http://localhost:8080/file/010312-79.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010312-80.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010312-81.jpg] - символ Кронекера, при [img: http://localhost:8080/file/010312-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010312-83.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010312-84.jpg] справедливо соотношение, [img: http://localhost:8080/file/010312-85.jpg]