Взаимности законы

ряд утверждений, касающихся связи между символами степенных или нор-менных вычетов. Простейшим проявлением В. з. является следующий факт, известный еще П. Ферма (P. Fermat). Простыми делителями чисел [img: http://localhost:8080/file/010312-188.jpg] могут быть лишь число 2 и простые числа, лежащие в арифметич. прогрессии [img: http://localhost:8080/file/010312-189.jpg] Х Другимц словами, сравнение [img: http://localhost:8080/file/010312-190.jpg] по простому модулю [img: http://localhost:8080/file/010312-191.jpg] разрешимо в том и только в том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010312-192.jpg] (mod 4). С помощью символа квадратичного вычета (Лежандра символа).последнее утверждение может [img: http://localhost:8080/file/010312-193.jpg] быть выражено следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/010312-194.jpg] В более общем случае вопрос о разрешимости сравнения [img: http://localhost:8080/file/010312-195.jpg] решается с помощью Гаусса закона взаимности: [img: http://localhost:8080/file/010312-196.jpg] где ри q- различные нечетные простые числа, а также двух дополнений к этому закону [img: http://localhost:8080/file/010312-197.jpg] Из этих соотношений для символов Лежандра следует, что простые числа р, для к-рых сравнение (*) при фиксированном аразрешимо, укладываются ровно в половину приведенных классов вычетов по модулю [img: http://localhost:8080/file/010312-198.jpg]. К. Гаусс (С. Gauss) справедливо придавал большое значение указанному В. з. и дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях [1]. Из закона взаимности Гаусса и его дальнейшего обобщения - В. з. для Якоби символа- следует, в частности, что тип разложения простого числа р в квадратичном расширении [img: http://localhost:8080/file/010312-199.jpg] поля рациональных чисел [img: http://localhost:8080/file/010312-200.jpg] определяется вычетом рпо модулю [img: http://localhost:8080/file/010312-201.jpg]. Закон взаимности Гаусса обобщается на сравнения вида [img: http://localhost:8080/file/010312-202.jpg] Однако при этом происходит переход от арифметики целых рациональных чисел к арифметике целых чисел расширения Кконечной степени тполя рациональных чисел. Кроме того, для обобщения В. з. на вычеты n-й степени нужно предполагать, что рассматриваемое расширение содержит примитивный корень [img: http://localhost:8080/file/010312-203.jpg] степени пиз 1. При таком предположении для простых дивизоров [img: http://localhost:8080/file/010312-204.jpg] поля К, не делящих п, имеет место сравнение [img: http://localhost:8080/file/010312-205.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010312-206.jpg] - норма дивизора [img: http://localhost:8080/file/010312-207.jpg], равная числу классов вычетов максимального порядка этого поля по модулю [img: http://localhost:8080/file/010312-208.jpg] Аналог символа Лежандра определяется при помощи сравнения [img: http://localhost:8080/file/010312-209.jpg] Символ степенного вычета [img: http://localhost:8080/file/010312-210.jpg] для пары целых чисел а и 6, аналогичный символу Якоби, определяется по формуле [img: http://localhost:8080/file/010312-211.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010312-212.jpg] - разложение главного дивизора (b).на простые сомножители и если 6 взаимно просто с an. В. з. для n=4 в поле [img: http://localhost:8080/file/010312-213.jpg] был установлен К. Гауссом [2], для n=3 в поле [img: http://localhost:8080/file/010312-214.jpg] - Г. Эйзенштейном [3]. Общий В. з. для символа степенного вычета в поле [img: http://localhost:8080/file/010312-215.jpg] простой степени пбыл установлен Э. Кумме-ром [4]. Формула Куммера для регулярного простого числа пимеет вид [img: http://localhost:8080/file/010312-216.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010312-217.jpg] - целые числа поля [img: http://localhost:8080/file/010312-218.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010312-219.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010312-220.jpg] - многочлен степени п-1 такой, что [img: http://localhost:8080/file/010312-221.jpg] Следующий этап в изучении общих В. з. связан с работами Д. Гильберта [5], [6], выяснившего их локальный аспект. Д. Гильберт для нек-рых случаев установил В. з. в виде формулы произведения для его символа норменного вычета [img: http://localhost:8080/file/010312-222.jpg] Он подметил также аналогию этой формулы с теоремой о вычетах алгебраич. функций - простые точки [img: http://localhost:8080/file/010312-223.jpg] с символом норменного вычета [img: http://localhost:8080/file/010312-224.jpg] соответствуют точкам ветвления на римановой поверхности. Дальнейший прогресс в изучении В. з. связан с именами Ф. Фуртвенглера [7], Т. Такаги [8], Э. Артина [9], X. Хассе [10]. Наиболее общая форма В. з. была получена И. Р. Шафаревичем [11]. Как и закон взаимности Гаусса, общие В. з. тесно связаны с задачей изучения законов разложения простых дивизоров [img: http://localhost:8080/file/010312-225.jpg] заданного поля алгебраич. чисел kв его алгебраич. расширениях K/k с абелевой Галуа группой. В частности, теория полей классов, решающая эту задачу, может быть обоснована (см. [12]), исходя из закона взаимности Шафаревича.