Винера интеграл

- абстрактный интеграл лебе-говского типа по множествам бесконечномерного функционального пространства от функционалов, определенных на этих множествах. В. и. введен Н. Винером (N. Wiener) в 20-х гг. 20 в. в связи с вопросами броуновского движения (см. [1], [2]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010313-32.jpg] - векторное пространство непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/010313-33.jpg], определенных на [0, 1] и таких, что [img: http://localhost:8080/file/010313-34.jpg] с нормой [img: http://localhost:8080/file/010313-35.jpg] Квазиинтервалом этого пространства наз. множество [img: http://localhost:8080/file/010313-36.jpg] } ([img: http://localhost:8080/file/010313-37.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010313-38.jpg] могут равняться, соответственно, [img: http://localhost:8080/file/010313-39.jpg], но тогда знак [img: http://localhost:8080/file/010313-40.jpg] заменяется на [img: http://localhost:8080/file/010313-41.jpg]). Примером квазиинтервала может служить все пространство [img: http://localhost:8080/file/010313-42.jpg] Мерой Винера квазиинтервала Qназ. число [img: http://localhost:8080/file/010313-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010313-44.jpg]. Эта мера распространяется до [img: http://localhost:8080/file/010313-45.jpg] -аддитивной меры, определенной на борелевском теле множеств, порожденном квазиинтервалами (по-прежнему наз. мерой Винера). Пространство [img: http://localhost:8080/file/010313-46.jpg] измеримо в смысле меры Винера и [img: http://localhost:8080/file/010313-47.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010313-48.jpg] -функционал, определенный на [img: http://localhost:8080/file/010313-49.jpg] и измеримый относительно меры [img: http://localhost:8080/file/010313-50.jpg]. Интеграл [img: http://localhost:8080/file/010313-51.jpg] лебеговского типа наз. интегралом Винера, или интегралом по мере Винера от функционала [img: http://localhost:8080/file/010313-52.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010313-53.jpg] измеримо, то [img: http://localhost:8080/file/010313-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-55.jpg] - характеристич. функция множества Е. В. и. обладает рядом свойств обычного интеграла Лебега. В частности, ограниченный и измеримый на множестве Ефункционал интегрируем по мере Винера на этом множестве и если, кроме того, функционал F(х).непрерывен и неотрицателен, то [img: http://localhost:8080/file/010313-56.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-57.jpg] - значение функционала Fна ломаной с вершинами в [img: http://localhost:8080/file/010313-58.jpg]. Вычисление В. и. даже для сравнительно простых функционалов представляет значительную трудность. Иногда эту задачу удается свести к нахождению решения некоторого дифференциального уравнения (см. [1]). Существует метод приближенного вычисления В. и. путем аппроксимации его конечномерными Стилтьеса интегралами высокой кратности.