Винера - хопфа метод

- метод решения функционального уравнения вида: [img: http://localhost:8080/file/010313-87.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-88.jpg] - заданные функции комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010313-89.jpg], аналитические в полосе [img: http://localhost:8080/file/010313-90.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010313-91.jpg] отличны от нуля в этой полосе; функции ' [img: http://localhost:8080/file/010313-92.jpg] - неизвестные функции комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010313-93.jpg], стремящиеся к нулю при [img: http://localhost:8080/file/010313-94.jpg] и подлежащие определению, причем [img: http://localhost:8080/file/010313-95.jpg] аналнтична при [img: http://localhost:8080/file/010313-96.jpg] аналитична при [img: http://localhost:8080/file/010313-97.jpg] Уравнение (1) выполняется в общей полосе аналитичности [img: http://localhost:8080/file/010313-98.jpg] Основой В.-X. м. являются следующие две теоремы. 1) Функция [img: http://localhost:8080/file/010313-99.jpg], аналитическая в полосе [img: http://localhost:8080/file/010313-100.jpg] и равномерно стремящаяся к нулю при [img: http://localhost:8080/file/010313-101.jpg], представима в этой полосе в виде суммы: [img: http://localhost:8080/file/010313-102.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-103.jpg] аналитична в полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/010313-104.jpg] аналитична в полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/010313-105.jpg]. 2) Функция [img: http://localhost:8080/file/010313-106.jpg], аналитическая и отличная от нуля в полосе [img: http://localhost:8080/file/010313-107.jpg] и равномерно стремящаяся в этой полосе к единице при [img: http://localhost:8080/file/010313-108.jpg], представима в данной полосе в виде произведения: [img: http://localhost:8080/file/010313-109.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-110.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010313-111.jpg] аналитичны и отличны от нуля, соответственно, в полуплоскостях [img: http://localhost:8080/file/010313-112.jpg] Представление (2) часто наз. факторизацией функции [img: http://localhost:8080/file/010313-113.jpg] Основная идея В.-X. м. заключается в возможности факторизации функции [img: http://localhost:8080/file/010313-114.jpg] т. е. в возможности представления [img: http://localhost:8080/file/010313-115.jpg] Используя (3), уравнение (1) можно переписать в виде: [img: http://localhost:8080/file/010313-116.jpg] Поскольку [img: http://localhost:8080/file/010313-117.jpg] аналитична в полосе, то [img: http://localhost:8080/file/010313-118.jpg] Используя (4), получают окончательно уравнение (1) в виде: [img: http://localhost:8080/file/010313-119.jpg] Левая часть выражения (5) представляет собой функцию, аналитическую в [img: http://localhost:8080/file/010313-120.jpg], а правая - функцию, аналитическую в [img: http://localhost:8080/file/010313-121.jpg]. Так как они имеют общую полосу аналитичности, где выполняется условие (5), то существует единственная целая функция [img: http://localhost:8080/file/010313-122.jpg], совпадающая, соответственно, с левой и правой частями (5) в областях их аналитичности. Отсюда [img: http://localhost:8080/file/010313-123.jpg] т. е. решение уравнения (1) определено с точностью до целой функции. Если степень роста функций [img: http://localhost:8080/file/010313-124.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010313-125.jpg] ограничена на бесконечности, то [img: http://localhost:8080/file/010313-126.jpg] будет многочленом. Тогда искомые функции определяются с точностью до постоянных, к-рые вычисляются из дополнительных условий. В.-X. м. был разработан в [1] для решения интегральных уравнений специального вида (см. Винера - Хопфа уравнение). В дальнейшем он нашел широкое применение в различных задачах математич. физики (см. также [2]).