Витали теорема

- 1) В. т. о покрытии. Если система замкнутых множеств [img: http://localhost:8080/file/010314-141.jpg] является покрытием Витали (см. ниже) множества [img: http://localhost:8080/file/010314-142.jpg], то из [img: http://localhost:8080/file/010314-143.jpg] можно выделить не более чем счетную последовательность попарно непересекающихся множеств [img: http://localhost:8080/file/010314-144.jpg], i= 1, 2, 3,..., такую, что [img: http://localhost:8080/file/010314-145.jpg] где т е - внешняя мера Лебега в [img: http://localhost:8080/file/010314-146.jpg]. Покрытием В и та-ли множества [img: http://localhost:8080/file/010314-147.jpg] наз. система [img: http://localhost:8080/file/010314-148.jpg] подмножеств [img: http://localhost:8080/file/010314-149.jpg] такая, что для любого хEА существует последовательность [img: http://localhost:8080/file/010314-150.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010314-151.jpg], удовлетворяющая условиями [img: http://localhost:8080/file/010314-152.jpg] где sup берется по всем I - кубам с гранями, параллельными координатным плоскостям, содержащим [img: http://localhost:8080/file/010314-153.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/010314-154.jpg] - внешняя мера Лебега в [img: http://localhost:8080/file/010314-155.jpg] (этот sup наз. параметром регулярности [img: http://localhost:8080/file/010314-156.jpg]). Теорема была доказана Дж. Витали [1] в случае, когда {F} состоит из кубов с гранями, параллельными координатным плоскостям. Условие, что [img: http://localhost:8080/file/010314-157.jpg] есть покрытие Витали множества А, а не покрытие в обычном смысле, существенно для справедливости В. т. Это условие не может быть опущено, даже если [img: http://localhost:8080/file/010314-158.jpg] есть система сегментов и каждому [img: http://localhost:8080/file/010314-159.jpg] соответствует последовательность [img: http://localhost:8080/file/010314-160.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010314-161.jpg] с центром в хи диаметрами, стремящимися к нулю.