Витта кольцо

поля k, кольцо типов квадратичных форм над k,- кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме [img: http://localhost:8080/file/010314-203.jpg] тогда и только тогда, когда для некоторых нейтральных квадратичных форм g1 и g2 ортогональная прямая сумма форм f1 и g1 изометрична ортогональной прямой сумме f2 и g2. Операции сложения и умножения в [img: http://localhost:8080/file/010314-204.jpg] индуцируются взятием ортогональной прямой суммы и тензорного произведения форм. Пусть характеристика поля kотлична от 2. Тогда определение эквивалентности форм равносильно следующему: [img: http://localhost:8080/file/010314-205.jpg] тогда и только тогда, когда анизотропные формы [img: http://localhost:8080/file/010314-206.jpg] соответствующие [img: http://localhost:8080/file/010314-207.jpg] (см. Витта разложение), изометричны. Класс эквивалентности формы f наз. ее типом и обозначается [f]. В. к., или кольцо типов квадратичных форм, есть ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Единицей кольца [img: http://localhost:8080/file/010314-208.jpg] является тип формы (1). [Здесь через (a1,..., an) обозначается квадратичная форма [img: http://localhost:8080/file/010314-209.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010314-210.jpg] Нулем служит тип нулевой формы ранга нуль, содержащий также все нейтральные формы. Противоположным к тжшу [img: http://localhost:8080/file/010314-211.jpg] является тип [img: http://localhost:8080/file/010314-212.jpg]. Аддитивная группа кольца W(k).наз. группой Витта поля k, или группой типов квадратичных форм над k. Типы квадратичных форм вида (а), где а - элемент мультипликативной группы [img: http://localhost:8080/file/010314-213.jpg] поля k, порождают кольцо [img: http://localhost:8080/file/010314-214.jpg]. Причем [img: http://localhost:8080/file/010314-215.jpg] полностью определяется в этих образующих соотношениями: [img: http://localhost:8080/file/010314-216.jpg] В. к. можно описать как кольцо, изоморфное фактор-кольцу целочисленного группового кольца [img: http://localhost:8080/file/010314-217.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010314-219.jpg] по идеалу, порожденному элементами [img: http://localhost:8080/file/010314-218.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010314-220.jpg] - смежный класс элемента хпо подгруппе [img: http://localhost:8080/file/010314-221.jpg] В ряде случаев В. к. вычисляется явно: напр., если k - квадратично (в частности, алгебраически) замкнутое поле, то [img: http://localhost:8080/file/010314-222.jpg] если k - вещественно замкнутое поле, то [img: http://localhost:8080/file/010314-223.jpg] (изоморфизм осуществляется сопоставлением типу [f] сигнатуры формы f); если k - пифагорово поле (т. е. сумма любых двух квадратов в kявляется квадратом) и не вещественно, то [img: http://localhost:8080/file/010314-224.jpg] если k - конечное поле, то кольцо W(k).изоморфно либо кольцу вычетов [img: http://localhost:8080/file/010314-225.jpg], либо [img: http://localhost:8080/file/010314-226.jpg] если k - полное локальное поле и его поле классов [img: http://localhost:8080/file/010314-227.jpg] имеет характеристику, отличную от 2, то [img: http://localhost:8080/file/010314-228.jpg] Расширение [img: http://localhost:8080/file/010314-229.jpg] поля [img: http://localhost:8080/file/010314-230.jpg] определяет гомоморфизм колец Витта [img: http://localhost:8080/file/010314-231.jpg] при котором [img: http://localhost:8080/file/010314-232.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010314-233.jpg]. Если расширение конечно и имеет нечетную степень, то [img: http://localhost:8080/file/010314-234.jpg] - мономорфизм, а если, кроме того, оно является Галуа расширением с группой G, то действие группы Gпродолжается на W(k).и [img: http://localhost:8080/file/010314-235.jpg] Общие свойства В. к. описываются теоремой Пфистера: 1) для любого поля kпериодическая подгруппа [img: http://localhost:8080/file/010314-236.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010314-237.jpg] 2-примарна; 2) если k - вещественное поле, а [img: http://localhost:8080/file/010314-238.jpg] - его пифагорово замыкание (т. е. наименьшее пифагорово поле, содержащее k), то точна последовательность [img: http://localhost:8080/file/010314-239.jpg] (при этом, если Wt(k)=0, то поле k- пифагорово); 3) если {ka} - семейство всех вещественных замыканий поля k, то точна последовательность [img: http://localhost:8080/file/010314-240.jpg] в частности, 4) если k - не вещественное поле, то группа [img: http://localhost:8080/file/010314-241.jpg] периодическая. Ряд других результатов относится к мультипликативной теории форм. В частности, пусть т - множество типов квадратичных форм на четномерных пространствах. Тогда тявляется двусторонним идеалом в W(k).и [img: http://localhost:8080/file/010314-242.jpg] идеал от содержит все делители нуля кольца [img: http://localhost:8080/file/010314-243.jpg] множество нильпотентных элементов кольца [img: http://localhost:8080/file/010314-244.jpg] совпадает с множеством элементов конечного порядка идеала тп является радикалом Джекоб-сона и первичным радикалом кольца [img: http://localhost:8080/file/010314-245.jpg]. Кольцо [img: http://localhost:8080/file/010314-246.jpg] конечно тогда и только тогда, когда поле kне вещественно, а группа [img: http://localhost:8080/file/010314-247.jpg] конечна; кольцо [img: http://localhost:8080/file/010314-248.jpg] нетерово тогда и только тогда, когда группа [img: http://localhost:8080/file/010314-249.jpg] конечна. Если k - не вещественное поле, то тявляется единственным простым идеалом кольца [img: http://localhost:8080/file/010314-250.jpg]. Если же k - вещественное поле, то множество простых идеалов кольца [img: http://localhost:8080/file/010314-251.jpg] является дизъюнктным объединением идеала ти семейств простых идеалов, соответствующих упорядочениям рполя k: [img: http://localhost:8080/file/010314-252.jpg] где lпробегает множество простых чисел, а [img: http://localhost:8080/file/010314-253.jpg] означает знак элемента а i при упорядочении р. Если k - кольцо с инволюцией, то конструкция, аналогичная конструкции В. к., приводит к понятию группы Витта кольца с инволюцией. С более широкой точки зрения кольцо (группа) Витта является одним из первых примеров K-функторов (см. Алгебраическая К-теория), которые играют важную роль в унитарной алгебраической K-теории.