Вложение кольца

- мономорфизм кольца в некоторое другое кольцо; кольцо Rвкладывается в кольцо L, если Rизоморфно подкольцу кольца L. Наиболее подробно изучались условия вложения ассоциативного кольца в (ассоциативное) тело и произвольного кольца в кольцо с делением. Начало этим исследованиям положила работа А. И. Мальцева [1], в которой был построен пример ассоциативного кольца без делителей нуля, не вложимого в тело. Долгое время оставалась открытой следующая проблема Мальцева: будет ли вложимо в тело каждое ассоциативное кольцо без делителей нуля, полугруппа ненулевых элементов к-рого вложима в группу? Эта проблема была решена отрицательно в 1966 (см. [2], с. 354). Квадратная матрица Апорядка [img: http://localhost:8080/file/010315-162.jpg] над ассоциативным кольцом R наз. неполной, если она предета-вима в виде [img: http://localhost:8080/file/010315-163.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010315-164.jpg] - матрицы порядков [img: http://localhost:8080/file/010315-165.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010315-166.jpg] соответственно и r<n. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010315-167.jpg] - квадратные матрицы порядка [img: http://localhost:8080/file/010315-168.jpg] над R, у к-рых совпадают все столбцы, кроме, возможно, первого. Тогда матрица [img: http://localhost:8080/file/010315-169.jpg] наз. детерминантной суммой матриц А и Вотносительно первого столбца. Аналогично определяется детерминантная сумма квадратных матриц одинаковых порядков относительно произвольного столбца (строки). Ассоциативное кольцо R с 1 вложимо в тело тогда и только тогда, когда оно не имеет делителей нуля и никакая скалярная матрица аЕ с ненулевым элементом апо диагонали не может быть представлена в виде детерминантной суммы конечного числа неполных матриц ([2], с. 349). Класс ассоциативных колец, вложимых в тела, не является конечно аксиоматизируемым (т. е. его нельзя задать конечным числом аксиом) [3]. Известен ряд достаточных условий вложения ассоциативного кольца в тело. Наиболее важными из них являются следующие. Пусть R - ассоциативное кольцо без делителей нуля, полугруппа ненулевых элементов к-рого удовлетворяет условию Оре (см. Вложение полугруппы). Тогда кольцо Rвложимо в тело ([4], с. 293). Групповая алгебра упорядоченной группы вложима в тело (теорема Мальцева- Неймана, см. [4], с. 294). Произвольная область свободных правых (левых) идеалов (см. Ассоциативные кольца и алгебры).вложима в тело ([2], с. 351). Кольцо Rвложимо в кольцо с делением тогда и только тогда, когда оно не содержит делителей нуля. Пусть R, L - кольца, [img: http://localhost:8080/file/010315-170.jpg] - символ, [img: http://localhost:8080/file/010315-171.jpg]. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010315-172.jpg] наз. Т- гомоморфизмом; если: 1) множество [img: http://localhost:8080/file/010315-173.jpg] есть кольцо и отображение [img: http://localhost:8080/file/010315-174.jpg] на атом множестве есть кольцевой гомоморфизм; 2) из [img: http://localhost:8080/file/010315-175.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010315-176.jpg]; 3) из [img: http://localhost:8080/file/010315-177.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010315-178.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010315-179.jpg]. T-гомоморфизм поля есть не что иное, как специализация (или точка) поля. Кольцо с делением L наз. свободным T-расширением кольца R, если: Lсодержит Rи порождается (как кольцо с делением) кольцом R, а любой T-гомомор-физм кольца Rв некоторое кольцо с делением Sможно продолжить до T-гомоморфизма Lв S. Каждое кольцо без делителей нуля обладает свободным T-расширением ([4], с. 301).